Tir y valor presente

Ecuaciones Autónomas
y Dinámica de la Población
Una clase importante de ecuaciones de primer orden son aquellos en los que la variable independiente hace
no aparece de forma explícita. Tales ecuaciones se llaman autónoma y tienen la forma
dy / dt = f (y). (1)
Vamos a discutir estas ecuaciones en el contexto del crecimiento o disminución de la población
de una especie, una cuestión importante encampos que van desde la medicina a la ecología a lo global
economía. Un número de otras aplicaciones se mencionan en algunos de los problemas. Retirada
que en la sección 1.1 hemos considerado el caso especial de la ecuación. (1) en la que la forma de la derecha
lado es f (y) = ay + b.
La ecuación (1) es separable, por lo que el análisis de la sección 2.1 es aplicable a la misma, pero el
propósitoprincipal de esta sección es mostrar cómo los métodos geométrica se puede utilizar para obtener
importante información cualitativa sobre las soluciones directamente de la ecuación diferencial,
sin resolver la ecuación. De importancia fundamental en este esfuerzo son los conceptos de
la estabilidad y la inestabilidad de las soluciones de las ecuaciones diferenciales. Se introdujeron Estas ideas
demanera informal en el capítulo 1. Se discuten más aquí y serán examinados con mayor
profundidad y en un contexto más general en los capítulos 3 y 7.
 Crecimiento Exponencial. Deja que y = φ (t) la población de la especie dada en el tiempo t. La hipótesis más simple
relativa a la variación de la población es que la tasa de cambio de y es proporcional a la
valor actual de y. Por ejemplo, si lapoblación se duplica, entonces el número de nacimientos en un
período de tiempo determinado también debe duplicar. Así tenemos
dy / dt = r y, (2)
donde la constante de proporcionalidad ris llama la tasa de crecimiento o disminución, dependiendo
si es positivo o negativo. Aquí, suponemos que r> 0, por lo que la población está creciendo.
Resolviendo la ecuación. (2) sujeto a la condición inicial
y (0) =y0, (3)
obtenemos
y = y0ert. (4)
Así, el modelo matemático que consiste en el problema de valor inicial (2), (3) con r> 0
predice que la población crecerá de manera exponencial para todos los tiempos, como se muestra en la figura 2.4.1
para varios valores de y0. En condiciones ideales, la Ec. (4) se ha observado que ser razonablemente
precisa para muchas poblaciones, al menos por períodoslimitados de tiempo. Sin embargo, está claro
que tales condiciones ideales no puede continuar indefinidamente; finalmente, las limitaciones de espacio,
suministro de alimentos, u otros recursos reducirán la tasa de crecimiento y poner fin a la desinhibida
crecimiento exponencial.
Para tener en cuenta el hecho de que la tasa de crecimiento depende en realidad de la población, se
reemplazar la constante ren la ecuación. (2) por una función h (y) y de ese modo obtener la ecuación modificada
dy dt = h / (y) y. (5)
Ahora queremos elegir h (y) por lo que h (y) ~ = r> 0 cuando y es pequeña, h (y) disminuye a medida
y se hace más grande, y h (y) <0 cuando y es suficientemente grande. La función más simple que tiene
estas propiedades es H (y) = r - ay, donde a es también una constante positiva. Utilizandoesta función en
Eq. (5), obtenemos
/ dt = (r - ay) dy y. (6)
La ecuación (6) se conoce como la ecuación de Verhulst o la ecuación logística. A menudo es conveniente
para escribir la ecuación logística en forma equivalente
dy
dt = r
?
1 - y
K
?
y, (7)
donde K = r / a. El r constante se denomina la tasa de crecimiento intrínseca, es decir, la tasa de crecimiento
en ausencia de cualquier factor delimitación. La interpretación de K se aclarará en breve.
Antes de proceder a investigar las soluciones de la ecuación. (7), echemos un vistazo a un ejemplo específico.
Ejemplo
1
Considere la ecuación diferencial
dy
dt =
?
1 - y
3
?
y. (8)
Sin resolver la ecuación, determinar el comportamiento cualitativo de sus soluciones y bosquejo
las gráficas de una muestra representativa de ellos.
Vamos a...