Tiro Pabolico

2.- Movimiento En Dos Dimensiones

2.1 La Altura Y La Velocidad De Los Proyectiles Pueden Calcularse Fácilmente

Un proyectil es un objeto que es lanzado en el aire y que se mueve predominantemente bajo la influencia de la gravedad. Al estudiar el movimiento de los proyectiles haremos dos simplificaciones: a) se despreciará la variación de la de la dirección o magnitud de la aceleracióngravitacional, lo cual implica no tomar en cuenta la curvatura terrestre, y por lo mismo, será válido en proyectiles cuyos movimientos verticales y horizontales son pequeños comparados con el radio terrestre; b) se despreciará la resistencia del aire; en objetos pesados que se mueven relativamente despacio, es despreciable, pero en objetos muy ligeros que se muevan a poca o a mucha velocidad o en losmuy pesados que se muevan a gran velocidad, la resistencia del aire tiene gran influencia sobre el movimiento. Para describir el movimiento de un proyectil, es conveniente escoger un sistema de coordenadas en el cual el eje de las y es verticalmente hacia arriba, siendo el eje de las x horizontal y en la dirección de la componente horizontal de la velocidad inicial del proyectil. Por lo queanalizaremos el movimiento solo en dos dimensiones, en el plano x-y. Además, la única aceleración será la de la gravedad, cuando el objeto sea lanzado: hacia arriba en forma vertical o con cierta inclinación, en forma horizontal, o hacia abajo con cierta inclinación. Cuando el objeto sea lanzado hacia abajo en forma vertical o se deje caer:
Cuando un cuerpo es lanzado hacia arriba, la velocidadinicial es positiva mientras que la aceleración de la gravedad es negativa. Todos los vectores con sentido hacia arriba son positivos y los que van hacia abajo son negativos. Por ejemplo, supongamos que una pelota se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de ¿Qué altura tendrá para diferentes valores del tiempo si despreciamos la resistencia del aire?







En este caso ,mientras que ; la expresión que nos permite calcular la altura para cualquier tiempo es



Observamos que a los 2 segundos se alcanza la altura máxima de 19.6 metros, y que a los 4 segundos la pelota pasa por el mismo nivel de lanzamiento y al continuar descendiendo las alturas son negativas por estar abajo del nivel del lanzamiento. Para conocer las diferentes velocidades de la pelotaen función del tiempo, utilizamos la expresión ; sustituyendo los valores: ; y graficando

Gráfica de la velocidad:




Se observa que a los 2 segundos la velocidad de la pelota es cero, lo cual indica que alcanzó la altura máxima que en este caso es de 19.6m, y a los 4 segundos la velocidad es de lo cual significa que la pelota pasa por el mismo nivel de lanzamiento con la mismavelocidad con la que fue lanzada pero en movimiento hacia abajo.



Cuando una pelota se deja caer desde cierta altura, al mismo tiempo en que otra pelota es lanzada horizontalmente del mismo punto con una velocidad de , se observa que al cabo se 1 seg. ambas pelotas han descendido 4.9m, pero la lanzada horizontalmente se ha desplazado 5m hacia la derecha; a los 2 seg. ambas han descendido 19.6m yla lanzada horizontalmente se ha desplazado 10m hacia la derecha; a los 3 seg. ambas descienden distancias iguales pero la lanzada se ha desplazado hacia la derecha una distancia de 15m.

Analizando el movimiento de la pelota que se deja caer, como es caída libre sin resistencia del aire y con velocidad inicial cero, la expresión que determina la distancia descendida en función del tiempo, es; en este caso la aceleración de la gravedad es positiva, por lo que sustituyendo valores tenemos:


Se observa que la distancia que desciende es positiva.
Analizando ahora el movimiento de la pelota que es lanzada horizontalmente con velocidad inicial de , la expresión que nos permite calcular la distancia que desciende en función del tiempo, es ; siendo la componente vertical de la...