tiro parabólico

Antecedentes:
El movimiento parabólico es aquel que realiza un objeto cuya trayectoria describe una forma de parábola. Corresponde a la trayectoria de un proyectil que se mueve en un medio que noofrece resistencia al avance y que está sujeto a una aceleración constante (la de la gravedad).
Podemos analizar el movimiento de forma horizontal y de cómo un movimiento rectilíneo uniforme y elvertical como un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado.
La ecuación que determina el vector velocidad inicial del movimiento es una de las que rigen su movimiento al igual que la aceleraciónexistente en la componente vertical será la de la gravedad y en el eje horizontal la aceleración será igual a 0.
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El ángulo fi será el ángulo de la velocidad inicial sobre el eje horizontal.Siendo que vosinΦ es la proyección de la velocidad en la componente j y vocosΦ es la proyección en el eje horizontal.
Al describir la velocidad en función del tiempo obtenemos que:

Tomando encuanta a partir de aquí el sistema de referencia x en la componente horizontal y Z en la componente vertical.
Donde sabemos que para la componente x la velocidad es constante y en Y la velocidad seráigual a la componente proyectada en el eje z menos el producto de gravedad tiempo que es una velocidad.
Al integrar esta ecuación de velocidad obtenemos una ecuación que describe la posición de lapartícula de forma vectorial:

Si analizamos a la partícula en 3 instantes diferentes de posición, es decir:
Si sabemos que el instante inicial de despegue de la partícula es
t1 = 0
El puntodonde el proyectil alcanza su altura máxima es cuando la componente de la velocidad en z es nula, y si a su vez despejamos el tiempo:

Al conocer que al llegar al suelo (z=0), es decir, quela posición al final es igual a cero en la componente vertical y se despeja el tiempo:

Las posiciones, las velocidades y aceleraciones en estos tres instantes las hallamos sustituyendo...