tiro parabolico

Tiro parabólico con rozamiento

Dinámica




Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad
Fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad.
Referencias
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En la página anterior "Movimiento vertical de una esfera en el seno de un fluido" hemos estudiado el movimiento de un objeto lanzado verticalmente hacia arriba en un medio que opone resistencia asu movimiento y lo comparamos con el movimiento del mismo cuerpo en el vacío.
Aplicamos dos modelos de fuerza para describir la resistencia que opone el medio al movimiento del cuerpo.
Una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad, para bajos valores del número de Reynolds
Una fuerza de rozamiento proporcional al cuadrado de la velocidad para altos números de Reynolds.
En estapágina, vamos a estudiar el movimiento de proyectiles disparados con la misma velocidad inicial v0 pero con ángulos de tiro  distintos.
Como hemos visto en la página "Movimiento bajo la aceleración constante de la gravedad" el proyectil disparado en el vacío con un ángulo de  =45º tiene un alcance máximo. Vamos a comprobar si esta afirmación se mantiene cuando el proyectil (por ejemplo, una pelotade golf) se mueve en un medio como el aire.
Fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad
Si despreciamos el empuje, las fuerzas que actúan sobre el cuerpo de masa m son:

El peso mg
La fuerza de rozamiento Fr, que es sentido contrario al vector velocidad (tangente a la trayectoria). Fr=-mbv.
Las ecuaciones del movimiento del cuerpo serán por tanto.

La solución de estas ecuaciones conlas condiciones iniciales t=0, vx=v0x, vy=v0y, son

Integrando de nuevo, con las condiciones iniciales t=0, x=0, y=0, tenemos

Para un proyectil disparado con velocidad v0 y ángulo de tiro  . Las velocidades iniciales son
v0x=v0·cos
v0y=v0·sen
Alcance del proyectil, altura máxima y tiempo de vuelo
El proyectil llega al suelo y=0, a una distancia x=R del origen. R se denomina alcancedel proyectil.
En la primera ecuación ponemos x=R y despejamos el tiempo de vuelo t,

sustituyéndola en la segunda ecuación con y=0.

Una ecuación trascendente en R, que se resolverá por procedimientos numéricos
La altura máxima, como vy=dy/dt=0, despejamos el tiempo t y se introduce en la expresión de y

Actividades
Se introduce
El valor del parámetro b
La velocidad inicial dedisparo v0
El ángulo de tiro θ
Se pulsa el botón titulado Calcular
El programa interactivo, calcula el alcance R, resolviendo la ecuación trascendente por el método del punto medio. Cuando el parámetro b es grande el procedimiento numérico no produce buenos resultados
Calcula el tiempo de vuelo
La altura máxima
Entre paréntesis se muestran los resultados para el caso del tiro parabólico ideal (sinrozamiento)
Nota: para valores grandes de b: 0.2, 0.3, etc, el procedimiento numérico no produce buenos resultados. Compárese con las trayectorias de la partícula para distintos ángulos de tiro, en al applet más abajo
ForzadasApplet aparecerá en un explorador compatible con JDK 1.1.
Cuando hay rozamiento, el alcance máximo no se obtiene para 45º, sino para un ángulo ligeramente inferior.Calcular el alcance para 45º, 44º, 43º...
Aproximaciones
Si la resistencia del aire es pequeña b~0, el término ln(1-bR/v0x) se puede desarrollar en serie hasta potencias de tercer orden en b.

Haciendo algunas operaciones obtenemos la ecuación de segundo grado en R

Donde R0 es el alcance cuando no se considera el rozamiento del aire.
Ejemplo: Sea v0=60 m/s. y θ=45º
Cuando no se considerarozamiento el alcance es

Cuando hay un pequeño rozamiento con el aire b=0.01, el alcance se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado en R, cuya raíz positiva es R=348.3 m
Actividades
Se introduce:
El valor del parámetro b en unidades s-1, el control de edición titulado b
La velocidad inicial v0 en el control de edición titulado Velocidad inicial.
Se pulsa el botón titulado...