titulo

Universidad Técnica Federico Santa María
Departamento de Matemáticas
Coordinación de Matemáticas I (MAT021)
1er Semestre de 2013
Guía de Ejercicios Semana 7, Complementos: Lunes 22 - Viernes 26 de Abril.
1. Realizar un bosquejo de las siguientes grá…cas:
a) f (x) = jln (x)j
b) f (x) =

1
2

ln x2

c) f (x) = ln ( x)
p
d ) f (x) = ln ( x)
e) f (x) = log 1 (2 + x)
3

f ) f (x) =log 1 (2
3

x)

g) f (x) = log2 (x + 1)
h) f (x) = 1

log2 (x)

i ) f (x) = 1 + log2 (x)
2. Simpli…car la expresión:

Respuesta: M =

5
4

0

7
8

log (a)

3. Pruebe que:
log
para todo a

0

log (b)

a2 bc4

M = log @ p
3
5
2

a

1
8

3 b3 c9

log (c) :

1
A

p
p
a2 + 1 + a + log
a2 + 1

a =0

4. Resolver las siguientes ecuacionesexponenciales y logarítmica:
a) log (3x 4) + log (x + 2) = log (15x + 2) + log (x)
Respuesta: x = 5
b) log (2) + 1 log (x 1) log (3) = log (x)
2
Respuesta: x = f2; 10g
c) log (x + a) + log (x b)
ab
Respuesta: x = 2a b

log (x)

d ) log (2x + 1)2 + 2 log (3x

4)

log (x

1
2

log (2x + 5)
a) = 0

2=0

7
6

Respuesta: x = 2;
p
p
e) log 3x + 4 + log x + 5 = 1 + log (1; 2)Respuesta: x = 4; 31
3
f ) 2x 1 + 2x 2 = 12
Respuesta: x = 4
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1

log (5)

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g) 2x 5 + 2x 4 + 2x
Respuesta: x = 6

3

+ 2x

2

+ 2x

1

+ 2x + 2 = 128

h) 22(x+1) + 22(3 x) 257 = 0
Respuesta: x = f3; 1g
5. Resolver el sistema de ecuaciones:
x y=8
log (x) + log (y) = 1 +log (2)
Respuesta: x = 10; y = 2:
6. Resolver el sistema de ecuaciones:

9
Respuesta: x = 4 ; y =

xy = y x
x3 = y 2

27
8 :

7. Resolver el sistema de ecuaciones:
x2 + y 2 = 100
log (x) log (y) = log (75)

2

Respuesta: x = 6; y = 8:
8. Resolver el sistema de ecuaciones:
log x4
log y 3 = 3
5 + log (y) = 37
log x
Respuesta: x = 26 ; y = 107
9. Hallar la inversa de lafunción:
f (x) =

b

x

b
2

x

; b>0

10. La presión atmosférica, p varía con la altutud h; sobre la super…cie de la Tierra. Para altitudes
hasta casi los 10 kilómetros, la presión p (en milímetros de mercurio) está dada en forma aproximada por:
p = 760e 0;125h
donde h está en kilómetros
a) Encuentre p a una altitud de 7; 3 kilómetros.
b) A qué altitud la presión será de 400 mm demercurio.

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11. En un análisis de la velocidad de enfriamiento de las partes aisladas del cuerpo cuando se expone
a bajas temperaturas, aparece la siguiente ecuación:
Tt

Te = (Tt

Te )o e

at

donde Tt es la temperatura de la parte del cuerpo en el instante t, Te es latemperatura del medio
ambiente, el subíndice o se re…ere a la diferencia de temperatura iniciales, y a es una constante.
Muestre que:
(Tt Te )o
1
a = ln
t
Tt Te
12. Encuentre el valor de k 2 R; para que la recta de ecuación 3kx + 5y
( 1; 4)

2 = 0 pase por el punto

Respuesta: k = 9
13. Encuentra la distancia entre los puntos (3; 5) y ( 1; 6)
p
Respuesta: 17
14. Encuentra lascoordenadas del punto R que divide al segmento P Q con extremos P ( 4; 1) y
PR
Q (8; 5), en la razón 3 es a 5. Es decir: RQ = 3
5
Respuesta: R =

1 5
2; 2

15. Dadas las rectas
x

y

2 = 0

3x + y

18 = 0

3x + 4y

27 = 0

Determinar si las rectas se cortan en un punto, y gra…car detalladamente dicha situación.
Respuesta: (5; 3), gra…camente:

16. Encuentre la distancia entrelas rectas:
6x + 2y

3 = 0

6x + 2y + 5 = 0
Respuesta:

16
3

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17. Encuentra el área del triángulo, cuyos vértices son A ( 1; 2) ; B (2; 2) y C (1; 4)
Respuesta: Área es 5
18. Dado el paralelogramo de vértices A = ( 1; 3) ; B = (3; 3) ; C = ( 3; 2) y D = (1; 2), muestra...