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1 ¿Estuvo Maradona en Suiza durante el siglo XVIII?

Aquí te envío una joya de Euler. Es una de esas maravillas que encuentro a cada rato leyendo sus libros. Nunca entenderé por qué razón lostextos de matemática no dicen una palabra de estas cosas. Es posible que yo, sin formación matemática, sea muy impresionable, pero para mí este tipo era un Maradona. Comenzamos con una fórmula famosaobtenida por Francois Viete, en 1593.

2

π

=

2 ⋅ 2

2+ 2 ⋅ 2

2+ 2+ 2 ⋅ 2

Viete usó un razonamiento geométrico para establecer esta fórmula (usó la razón de áreas de polígonos regularesde n y 2n lados, inscriptos en la misma circunferencia.) La fórmula de Viete tiene importancia histórica ya que por primera vez un proceso infinito fue explícitamente escrito como una sucesión deoperaciones algebraicas. Euler – a quien no le gustaban mucho los dibujitos – decide entonces arribar a la misma fórmula analíticamente. Arranca como Maradona de la mitad de la cancha: ¡del seno del ángulodoble!

x x sen x = 2sen ⋅ cos 2 2 x x x = 4sen ⋅ cos ⋅ cos 4 4 2 x x x x = 8sen ⋅ cos ⋅ cos ⋅ cos 8 8 4 2 = ....
Luego de repetir este proceso n veces, tiene

sen x = 2 n sen

x x ⋅ cos n ⋅2n 2

⋅ cos

x 2

Luego multiplica y divide el primer término de este producto por x ≠ 0 , y lo vuelve a escribir de este modo:

2

x   sen 2 n sen x = x ⋅   xn  2

  x x  ⋅ cos ⋅cos ⋅ 2 4  

⋅ cos

x 2n

Si ahora dejamos que n tienda a infinito, mientras x permanece constante, entonces

x → 0 , y la expresión entre corchetes tenderá a 1. 2n
Así tenemos,
∞

sen x= x ∏ cos
n =1

x 2n
(1)

sen x x x x = cos ⋅ cos ⋅ cos ⋅ x 2 4 8
Esta ecuación descubierta por Euler es uno de los raros ejemplos –dice Eli Maor 1 en Trigonometric Delights–, de un productoinfinito que se pueda obtener mediante álgebra elemental. Teniendo presente que lim Para x =

π
2

sen x = 1 , extendemos (1) haciéndola valer 1 en x = 0 . x→0 x

, tenemos:

sen

2 = cos...