Tmerospaprinci
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Teor´ıa de n´umeros
[para principiantes]
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Teor´ıa de n´umeros
[para principiantes]
Luis R. Jim´enez B.
Jorge E. Gordillo A.
Gustavo N. Rubiano O.
Profesores
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Sede Bogot´a
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vi, 284 p. : 3 il.
ISBN 958-701-372-7
QA241.
1.Teor´ıa de n´
umeros
Luis R. Jim´enez B.,
Jorge E. Gordillo A.,
Gustavo N. Rubiano O.
´ meros [para principiantes], 2a. edicio
´ n.
Teor´ıa de nu
Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogot´
a.
Facultad de Ciencias, 2004
Mathematics Subject Classification 2000: 11-01.
c Edici´
on en castellano: Luis R. Jim´enez B., Jorge E. Gordillo A.,
Gustavo N. Rubiano O.
Universidad Nacional de Colombia.
Primeraimpresi´
on, 2004
Impresi´
on:
Pro–Offset Editorial Ltda.
Bogot´
a, D. C.
COLOMBIA
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´Indice General
Pr´
ologo
1 N´
umeros Naturales
ix
1
1.1
Axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Adici´
on de n´
umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Multiplicaci´
on de n´
umeros naturales . . . . . . . . . . . . . .
51.4
Orden entre n´
umeros naturales . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.5
Construcci´
on de los n´
umeros enteros . . . . . . . . . . . . . .
10
1.6
Formas equivalentes al principio de inducci´
on
matem´
atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2 Divisibilidad
25
2.1
Propiedades b´
asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
2.2
M´
aximo Com´
unDivisor MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
v
vi
´INDICE GENERAL
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2.3
Algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.4
Propiedades del M´
aximo Com´
un Divisor . . . . . . . . . . . .
33
2.5
M´ınimo Com´
un M´
ultiplo y generalizaciones . . . . . . . . . .
39
2.6
Teorema fundamental de la aritm´etica . . . . . . . . . . . ..
46
2.7
Algunas propiedades de los n´
umeros primos . . . . . . . . . .
51
2.8
Algunas ecuaciones diof´
anticas . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
3 Funciones Aritm´
eticas
64
3.1
La funci´
on parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
3.2
Las funciones n´
umero y suma de divisores . . . . . . . . . . .
70
3.3
N´
umeros perfectos, de Mersenne y de Fermat . . . .. . . . .
74
3.4
La funci´
on Φ de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
3.5
Funciones multiplicativas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.6
La f´
ormula de inversi´
on de M¨
obius . . . . . . . . . . . . . . .
90
4 Congruencias
98
4.1
Definici´
on y propiedades b´
asicas . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.2
Criterios de Divisibilidad . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 104
4.3
Aritm´etica m´
odulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.4
Los Teoremas de Euler y Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.5
Congruencias lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.6
Ecuaciones Diof´
anticas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.7
Sistemas de congruencias lineales . . . . . . . . . . . . .. . . 127
4.8
El Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
´INDICE GENERAL
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4.9
vii
Congruencias de grado superior . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.10 Congruencias con m´
odulo una potencia de un primo . . . . . 140
4.11 Teoremas de Lagrange y Wilson . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5 Residuos cuadr´
aticos
153
5.1Congruencias de segundo grado con m´
odulo primo . . . . . . 153
5.2
Ley de la reciprocidad cuadr´
atica . . . . . . . . . . . . . . . . 160
5.3
El s´ımbolo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.4
Potencias m´
odulo n y ra´ıces primitivas . . . . . . . . . . . . . 172
5.5
´
Algebra
y teor´ıa de n´
umeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6 Criptograf´ıa
194...
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