Tmp 11200 Taller Limites 11964594329

Taller 2

2

1. La figura muestra una circunferencia C1 con ecuación (x 1) + y 2 = 1 y una circunferencia C2 que se contra
con radio r y centro en el origen. P es el punto (0, r), Q es el puntosuperior de intersección de las dos
circunferencias, y R es el punto de intersección de la recta P Q con el eje x. ¿Qué pasa con R cuando C2 se
contrae, esto es, cuando r ! 0?

2. Encuentre los números a yb tales que
l´ım

x!0

p

ax + b
x

2

= 1.

3. Evalue
l´ım

x!0

|2x

1| + |2x + 1|
.
x

4. Evalue los siguientes limites, si estos existen, donde JxK denota la función parte entero mayor.
a) l´ımJxK
x .
x!0

b) l´ım x
x!0

q1y
x

.

5. Si l´ım [f (x) + g (x)] = 2 y l´ım [f (x)
x!a

x!a

g (x)] = 1. Encuentre l´ım [f (x) g (x)] .
x!a

6. En la figura se muestra un punto P sobre una parábola y =x2 y el punto Q donde la bisectriz de OP interseca
al eje y. Conforme P se aproxima al origen, a lo largo de la parábola, ¿qué sucede con Q? ¿Tiene una posición
limite? Si es así, encuentrela.

17. Sea f (x) = JxK + J xK .

a) ¿Para que valores de a existe l´ım f (x)?
x!a

b) ¿En qué números es discontinua la función f ?
8. Suponga que f es una función con la propiedad de que |f (x)|  x2 paratoda x. Muestre que f (0) = 0.
Enseguida, muestre que f 0 (0) = 0.
9. Observe la figura

a) Sea ABC un triangulo isosceles con \B = \C. La bisectriz del ángulo B interseca al lado AC en el
punto P .Suponga que la base BC permanece fija, pero que la altura |AM | del triangulo tiende a 0, de
modo que A se aproxima al punto medio M de BC. ¿Qué sucede con P durante ese proceso? ¿Tiene una
posiciónlimite? Si es así, encuentrela.
b) Intente trazar la trayectoria recorrida por P durante este proceso. A continuación halle la ecuación de
esta curva y úsela para dibujarla.
10. Pruebe que existe unvalor x 2 R tal que
a) x179 +

163
1+x2 +sin2 x

b) sin x = x

= 119.

1.

11. Demuestre que l´ım f (x) = 0 donde
x!0

f (x) =

⇢

x,
0,

x racional
x irracional

12. Un n-agono regular es un polígono...