TNumerosOlimpiadas final

Teoría de Números

Teoría de Números
para
Olimpiadas Matemáticas

José Heber Nieto Said
2015

Teoría de Números para Olimpíadas Matemáticas
Asociación Venezolana de Competencias Matemáticas, Caracas, Mayo 2014
Hecho el depósito de Ley.
Depósito Legal: lfi6592015510497
ISBN: 978–980–6195–40–0
Formato digital: 76 páginas
Diseño general: José H. Nieto
Reservados todos los derechos. Ninguna parte deesta publicación puede ser reproducida por ningún medio, sin aprobación previa de la Asociación Venezolana de
Competencias Matemáticas.

Índice general
Introducción

1

1. Números naturales
1.1. El orden en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Operaciones aritméticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Números primos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Teorema Fundamental de la Aritmética . . . . . .
1.4.2. Criba de Eratóstenes . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Cantidad de números primos . . . . . . . . . . . .
1.4.4. El conjunto de divisores de un número natural . .
1.4.5. Números primos de Mersenne . . . . . . . . . . . .
1.4.6. Números primos de Fermat . . . . . .. . . . . . .
1.4.7. Números perfectos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.8. Algunos problemas abiertos sobre números primos
1.5. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Números enteros
2.1. Ladivisión entera . . . . . . .
2.2. Sistemas de numeración . . .
2.3. Máximo común divisor . . . .
2.3.1. Algoritmo de Euclides
2.4. Mínimo común múltiplo . . .
2.5. Problemas . . . . . . . . . . .

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3. Congruencias
3.1. Definición y propiedades básicas . .
3.2. Criterios de divisibilidad . . . . . . .
3.3. Teorema chino de los restos . . . . .
3.4. Teoremas de Fermat, Euler y Wilson
3.5. Lema de Hensel . . . . . . . . . . . .

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3.6. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Ecuaciones diofánticas
4.1. Ecuación diofántica lineal
4.2. Ternas pitagóricas . . . .
4.3. Ecuación de Pell-Fermat .
4.4. Problemas . . . . . . . . .

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5.Residuos cuadráticos
5.1. El símbolo de Legendres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Ley de reciprocidad cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Soluciones a los problemas

50

Siglas de algunas competencias matemáticas

72

Bibliografía

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Índice alfabético

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Introducción

L

as Olimpiadas Matemáticas son concursos de resolución de problemas que se
realizan en todo el mundo a nivel local, nacional, regional e internacional. La
participación en estas competencias, enlas que se plantean problemas novedosos e
interesantes, alejados de la rutina, puede estimular el interés de muchos estudiantes
por la matemática y ayudarlos a descubrir aptitudes y hasta vocaciones ocultas.
Para los maestros y profesores las olimpiadas ponen al alcance de su mano un
amplio material que puede ser usado para reorientar y enriquecer la enseñanza:
problemas cuidadosamente diseñados,...