todo acerca de series

SERIES DE POTENCIAS.
A una serie que obtenga potencia de exponente entero no negativo de una variable x.
(1) C0+C1x+C2x2+…….Cnx2+…….
C0+C1…..CK son constantes que dependen de k se llama serie de potencia en x.
(2) C0+C1(x-a)+C2(x-a)2+……Cn(x-a)n……+
Se llama serie de potencias en x-a
El problema que planteamos es:
Encontrar los valores de x para las cuales converge una serie de potencias.(1) Y (2) convergen a C0 si x=0 y x=a.
Ejemplo:
La serie de potencias
1+x+x2+……xn+…..
Se reconoce como una serie geométrica en r=x.
Por tanto la serie converge para los valores de x que satisfacen o bien
INTERVALO DE CONVERGENCIA.
Al conjunto de todos los números reales x para los cuales converge una serie de potencias, se le llama.
Su intervalo de convergencia. Considerando el casogeneral, una serie de potencias en x-a puede converger.
1.- En un intervalo finito centrado en a:
(a-r,a+r),[(a-r,a+r),(a-r, a+r)]o[a-r,a+r]
2.- En un intervalo infinito; o
3,-solo en el punto x=a.
En los casos respetivos, se que el radio de convergencia es r,.
Ilustraremos el caso (a-r,r+a).
El criterio de la razón, es especialmente útil para encontrar un intervalo de convergencia.Ejemplo: Hallar el intervalo de convergencia de:


Existe convergencia absoluta siempre que solo limite sea estrictamente menor que la unidad.
La función es absolutamente convergente para aquellos valores de x que satisfacen:

La serie convergerá para cualquier numero x del intervalo (-2,2).
Sin embargo si o sea cuando x=2,x=-2 el criterio no da razón(no da información).
Hay que realizarpor separado comprobaciones de la convergencia de la serie en estos puntos de la frontera.
Sustituyendo x por el valor 2. Se obtiene:

Que es convergente por comparación con la serie p convergente . De manera semejante; sustituyendo x=-2 resulta la serie alternante . La cual es evidentemente convergente.
Concluimos que el intervalo de convergencia cerrado[-2,2]. El radio de convergencia es2. La serie diverge si
EJEMPLO:
Determinar el intervalo de convergencia de.


Puesto que . Para cualquier elección de x, la serie converge absolutamente para todo numero real. Asi que el intervalo de convergencia es y el radio de convergencia es

EJEMPLO: Dterminar el intervalo de convergencia de.

La serie converge absolutamente si o sea resolviendo(2,8).
En x=2 y x=8.convergente divergente
El intervalo de convergencia es:
(2,8). El radio de convergencia en 3.
La serie diverge si
EJEMPLO:
Obtener el intervalo de convergencia de:


La serie diverge para todo número real x, excepto para x=-10, en x =10, obtenemos una serie convergente que consiste en toda en el radio de covergencia es 0.
SERIE DE TAYLOR
Serie de Taylor y de maclaurin deuna funcion,Cuando una serie de potencias representa una funcion F en el intervalo (a-r,a+r),
F(x)=C0+C1(x-a)2+C3(x-a)2+……+Cn(x-a)2+ (1)
Existe una relación entre los coeficientes CK y las derivadas de f
…….. (2)
……… (3)
……………… (4)
y asi progresivamente.
Evaluando (1)(2)(3) y (4) en x=a
,Respectivamente. En general
(5)
Cuando n=0. Se interpreta la derivada del orden. Cero como f(a) y
Sustituyendo en 5 y en 1.
(6)
Que es valida para todos los valores de x en (a-r,a+r), r>0. Esta se llama
Serie de Taylor de f en a.
El caso especial a=0 de una serie de Taylor
(7)
Se llama serie de Maclaurin de f
Por otra parte,si se tiene una funcion diferente f, surge una pregunta natural. ¿Podemos desarrollar f en una serie de Taylor?
Formalmente la respuesta es si, calculando simplemente los coeficientes como lo indica(5).
Ejemplo:
Obtener la serie de Taylor de f(x)=lnx en a=1





Según (5) y (6) da lugar a.
(8)...