Todo de todo
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Publicado: 16 de febrero de 2011
5 Transformaciones Lineales.
5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades.
Vamos a estudiar en este capítulo las funciones conocidas como transformaciones lineales. Estas funciones se presentan en muchos casos tanto en el álgebra lineal como en otras ramas de las matemáticas. También podemos encontrar las transformaciones lineales en campos tan diferentes como elprocesamiento de imágenes, la física, gráficas en computadora, ingeniería así como muchas otras áreas de la ciencia y de la vida diaria.
Antes de dar la definición de las transformaciones lineales veamos un ejemplo de su aplicación. Todos hemos visto caricaturas donde por ejemplo hemos visto un auto en reposo y un auto que va en movimiento, para lograr que la caricatura de la impresión deestar en movimiento se utiliza una transformación lineal. Vea la siguiente figura.
(0, 1) (2, 1) (0.75, 1) (2.75, 1)
T
(0, 0) (2, 0) (0, 0) (2, 0)(a) Auto en reposo (b) Auto en movimiento
Figura 1 Transformación lineal de una imagen.
La segunda figura está inclinada y estirada (horizontalmente) a la derecha, dando así la sensación de movimiento. Las puntas de flecha indican las coordenadas tanto del auto en reposo como del auto en movimiento. Podemosapreciar que la figura no cambia sus valores en y, pero en x el aumento es del 75%. La pregunta es ¿Existe algún método que nos permita modelarlo matemáticamente y hacer que la computadora trace la imagen con la inclinación deseada? La respuesta es sí; además el método es independiente del cuadro (imagen) inicial y se puede aplicar a otras imágenes. Más adelante veremos este tipo de problemas, peropodemos adelantar que la solución es una matriz de 2 X 2, la cual multiplica por la izquierda a cada una de las coordenadas de la figura (a), para obtener las coordenadas de la figura (b).
La matriz es 10.7501. Verifiquemos haciendo las cuatro multiplicaciones.
10.750101=0.751 10.750121=2.751
10.750100=00 10.750120=20
Es posible tener otros porcentajes deaumento en x, por ejemplo un porcentaje de incremento del 25% con una matriz 10.2501 daría un cuadro de un auto que apenas se empieza a mover, con un porcentaje de aumento en x de 50% y una matriz 10.5001 daría un cuadro de un auto que va más rápido, con el incremento en x de 75% y la matriz cuyos cálculos ya hicimos se ve un auto a mayor velocidad. Obviamente podemos usar otros porcentajesdistintos para el aumento en x, y así crear una caricatura donde un auto en reposo se ve como empieza a moverse lentamente, e incrementa su velocidad hasta dar la impresión de que avanza muy rápido.
Definición de transformación lineal.
Una transformación lineal T (mapeo ó función) de un conjunto A a un conjunto B se representa por T:A→B, se puede leer también como T que toma a A y lolleva a B, es una regla que asocia a cada elemento a de A un elemento único b de B, llamado éste último b imagen de a bajo T. Se acostumbra escribir como Ta=b y se dice que a se mapea a Ta. A se conoce como dominio de T; B es el codominio de T; por último se llama contradomino de T el subconjunto de B formado por todas las imágenes de los elementos de A y que se encuentra representado por TA.En algunas ocasiones resulta que dos o más elementos de A tengan la misma imagen, vea la siguiente figura.
A B Contradominio de T
T
Dominio de T...
5.1 Definición de transformación lineal y sus propiedades.
Vamos a estudiar en este capítulo las funciones conocidas como transformaciones lineales. Estas funciones se presentan en muchos casos tanto en el álgebra lineal como en otras ramas de las matemáticas. También podemos encontrar las transformaciones lineales en campos tan diferentes como elprocesamiento de imágenes, la física, gráficas en computadora, ingeniería así como muchas otras áreas de la ciencia y de la vida diaria.
Antes de dar la definición de las transformaciones lineales veamos un ejemplo de su aplicación. Todos hemos visto caricaturas donde por ejemplo hemos visto un auto en reposo y un auto que va en movimiento, para lograr que la caricatura de la impresión deestar en movimiento se utiliza una transformación lineal. Vea la siguiente figura.
(0, 1) (2, 1) (0.75, 1) (2.75, 1)
T
(0, 0) (2, 0) (0, 0) (2, 0)(a) Auto en reposo (b) Auto en movimiento
Figura 1 Transformación lineal de una imagen.
La segunda figura está inclinada y estirada (horizontalmente) a la derecha, dando así la sensación de movimiento. Las puntas de flecha indican las coordenadas tanto del auto en reposo como del auto en movimiento. Podemosapreciar que la figura no cambia sus valores en y, pero en x el aumento es del 75%. La pregunta es ¿Existe algún método que nos permita modelarlo matemáticamente y hacer que la computadora trace la imagen con la inclinación deseada? La respuesta es sí; además el método es independiente del cuadro (imagen) inicial y se puede aplicar a otras imágenes. Más adelante veremos este tipo de problemas, peropodemos adelantar que la solución es una matriz de 2 X 2, la cual multiplica por la izquierda a cada una de las coordenadas de la figura (a), para obtener las coordenadas de la figura (b).
La matriz es 10.7501. Verifiquemos haciendo las cuatro multiplicaciones.
10.750101=0.751 10.750121=2.751
10.750100=00 10.750120=20
Es posible tener otros porcentajes deaumento en x, por ejemplo un porcentaje de incremento del 25% con una matriz 10.2501 daría un cuadro de un auto que apenas se empieza a mover, con un porcentaje de aumento en x de 50% y una matriz 10.5001 daría un cuadro de un auto que va más rápido, con el incremento en x de 75% y la matriz cuyos cálculos ya hicimos se ve un auto a mayor velocidad. Obviamente podemos usar otros porcentajesdistintos para el aumento en x, y así crear una caricatura donde un auto en reposo se ve como empieza a moverse lentamente, e incrementa su velocidad hasta dar la impresión de que avanza muy rápido.
Definición de transformación lineal.
Una transformación lineal T (mapeo ó función) de un conjunto A a un conjunto B se representa por T:A→B, se puede leer también como T que toma a A y lolleva a B, es una regla que asocia a cada elemento a de A un elemento único b de B, llamado éste último b imagen de a bajo T. Se acostumbra escribir como Ta=b y se dice que a se mapea a Ta. A se conoce como dominio de T; B es el codominio de T; por último se llama contradomino de T el subconjunto de B formado por todas las imágenes de los elementos de A y que se encuentra representado por TA.En algunas ocasiones resulta que dos o más elementos de A tengan la misma imagen, vea la siguiente figura.
A B Contradominio de T
T
Dominio de T...
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