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C APITULO X

COORDENADAS POLARES
79. Introducci6n. H asta este punto , en nuestro estudio de propiedades geometricas por mhtodos analfticos hemos utilizado un solo
sistema de coordenadas. Ahora vamos a introducir y emplear otro sist ema conocido como sislema dr! coordenadas polares. E n vista de la
utilidad demostrada del sistema de coordenadas cartesianas rectangulares , el lector puedepensar que no hay necesidad de considerar otro
sistema . Pero veremos , sin embargo , que para ciertas curvas y tipos
de lugares georn6tricos el uso de coordenadas polares presenta a lgunas
v entajas sobre las coordenadas r ecta~lgulares
.
80. S istema de coordenadas polares. P or medio dc un sistema de
coordenadas en un plano, es posible
localizar cualquier p unto del plano.
90"
E n elsistema rectangular esto se efect da refiriendo el p unto a d os rectas
fijas perpendiculares llamadas ejes tie
coordenadas (Art. 4 ) . E n el sistema
polar, un p unto se locaiiza especifi-A
cando su posici6n relativa con respecto
a u na recta fija y a un p unto fijo de esa
recta. La recta fija se llama eje polar;
el p unto fijo se llama p olo. Sea (figu,)
j
ra 109) la recta horizontal OA eleje
F i g . 109
polar y el p unto 0 el p olo. Sea P un
p unto cualquiera en el plano coorden ado. Tracemos el segment0 O P y designemos su longitud por r .
Llamemos 8 a1 &ngulo A OP. E videntemente, la posici6n del punto P con relaci6n a1 eje polar y a1 polo es determinada cuando se
conocen r y 8 . E stas dos cantidades se llaman las coordenadcrs polares
del p unto P ; en particular, r sellama radio vector y 8 dngulo polar,

,

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G EOMETRIA ANALITICA PLANA

angulo veclorial o argumenlo d e P . L as coordenadas polares de un
p unto se indican dentro de un pnrdntesis, escribi6ndose primero el
radio vector. Asf , las coordenadas de P se escriben (r , e ) . L a lfnca
recta que pasa por el polo y es perpendicular a1 eje polar se llama el
e je a 90'.
E l 6ngulo polar 8 semide como en Trigonometria considerando el
eje polar como l ado inicial y el radio vector como l ado final del Bngulo
(Apdndice I C , 1 ) , cs decir , partiendo del eje polar hacia el radio
vector ; se considera positivo o negativo segiin que el sentido seguido
sea opuesto a1 d e las manecillas de un reloj o el mismo . Algunos autores , siguiendo 10s convenios hechos en Trigonometrfa,consideran que
el radio vector nunca debe ser considerado como negativo ; o tros autores, en cambio, a dmiten q ue el radio vector puede t omar todos 10s
valores reales . Nosotros seguiremos este iiltimo convenio . Segdn esto,
si un p unto tiene un radio vector negativo , ae mide primero el hngulo
polar de la manera o rdinaria, y despues ae toma el radio vector en la
prolongaci6n del lado final.Asf, un p unto P f , de coordenadas
( - r , 8 ) , se localiza como se indica en la figura 109.
E s evidente que un par de coordenadas polares (r , 8 ) determina
uno y solamente un p unto en el plano coordenado. El reciproco, en
cambio, no es verdadero, porque un p unto P determinado por las
coordenadas ( r , e ) esth tambi6n determinada por cualquiera de 10s
pares de coordenadas representadaspor (r , 8 2 n n ) , en donde n
cst6 d ado en radianes y n es un entero cualquiera. El pun$o P puede
determinarse tambi6n por cualquiera de 10s pares de coordenadas
n n) , en donde n es un entero impar
representados por (- r , e
cualquiera . M ientras el sistema rectangular establece una correspondencia biunfvoca entre cada p unto del plano y un par de ndmeros
reales , e sta correspondenciano es iinica en el sistema polar, porque
un p unto puede estar representado por uno cualquiqra de un niimero
infinito de pares de coorderiadas polares. E s esta carencia d e reciprocidad dnica en el sistema polar la que nos conduce, en algunos casos ,
a resultados que difieren de 10s obtenidos en el sistema rectangular.
Para la mayor parte de nuestros propdsitos , un par de coordenadas...