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Método de las aproximaciones sucesivas
Dada la ecuación f(x) = 0, el método de las aproximaciones sucesivas reemplaza esta ecuación por una equivalente, x=g(x), definida en la forma g(x)=f(x)+x.Para encontrar la solución, partimos de un valor inicial x0 y calculamos una nueva aproximación x1=g(x0). Reemplazamos el nuevo valor obtenido y repetimos el proceso. Esto da lugar a una sucesión devalores {x0,x 1,…,x n} , que si converge, tendrá como límite la solución del problema.
 
 
  
Figure: Interpretación geométrica del método de las aproximaciones sucesivas. |
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 En la figura serepresenta la interpretación geométrica del método. Partimos de un punto inicial x0 y calculamos y = g(x0). La intersección de esta solución con la recta y=x nos dará un nuevo valor x1 más próximo ala solución final

Método de aproximaciones sucesivas
Los métodos abiertos se basan en fórmulas que requieren de un solo valor para predecir la raíz.
La ecuación f(x)= 0 se arregla de tal modo quex quede del lado izquierdo de la ecuación:
X = g (x )
Ejemplo:
f(x) = x2 -2x + 3 = 0
reordenando : x = x2 + 3

Ejemplo:
f(x) = sen x = o
reordenando: x = sen x + x

Requerimos de un valorinicial xi, que se puede usar para obtener una aproximación de xi + 1, expresándolo por la forma iterativa:
xi + 1 = g (xi )
El error de aproximación:
Ea = xi + 1 - xi x 100
xi + 1
Es quemagráfico de la convergencia de la iteración del punto fijo:

Use el método de aproximaciones sucesivas ( iteración del punto fijo para localizar la raíz de f (x) = e-x - x, x0 = 0, Ea = 0.5% )
X =e-x = g ( x )
X1 + 1 = e-xi
X0 = 0, x1 = e-0 = 1 ; x1 = 1
X2 = e-x1 = e-1 = 0.367879
X3 = e-x2 = e-0.367879 = 0.692200
X4 = e-x3 = e-0.692200 = 0.500473
X5 = e-x4 = e-0.500473 = 0.606243
X6 =e-x5 = e-0.606243 = 0.545396
X7 = e-x6 = e-0.545396 = 0.579612

I | xi | Ea (%) |
0 | 1 | 171.83 |
1 | 0.367879 | 46.9 |
2 | 0.692200 | 38.3 |
3 | 0.500473 | 17.4 |
4 | 0.606243 | * |
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