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Páginas: 19 (4501 palabras)
Publicado: 5 de agosto de 2012
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada
4.1 RAZÓN DE CAMBIO
Ejercicios Propuestos 4.1
1. De un tubo sale arena a razón de 16 pies3/seg. Formando en el suelo una pirámide cónica cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando la misma tiene 4 pies de longitud? Un depósito cónico de 12 m. de altura y radio de la base4 m., tiene inicialmente 10 m3 de agua. En t=0 comienza a fluir agua al interior del depósito a una razón de 8 m3/h, y al mismo tiempo, por el fondo comienza a salir agua a razón de 5 m3/h. Determine la razón a la que está variando el nivel del líquido después de 3 horas? En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 225 litros por minuto . El cono tiene 6 metros de profundidady 3 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2.5 centímetros por minuto, cuando el agua tiene un nivel de 4.8 metros, ¿con qué rapidez escapa agua del depósito? 1 Litro = 10 −3 m3 4.
2.
3.
(
)
Considere el reservorio de la figura 4.8, al cual se está vertiendo agua a razón de 50 m3/min. Determine ¿con qué rapidez sube el nivel del agua,cuando éste tiene?: a) 2 m. b) 5 m.
1
2
3
Fig. 4.8 2
5.
4
La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo nivel los 20 pies restantes, como se ilustra en la figura. La piscina se está llenando a razón de 50 pie3/min de agua. Calculeaproximadamente la RAPIDEZ DE CAMBIO del nivel de agua en el momento que la profundidad es:
a) 4 pies
4' 9' Fig. 4.9 20' 40'
b) 6 pies
6.
Suponga que se vacía el agua de un tanque esférico de radio 10 pies. Si el nivel del agua en el tanque es 5 pies y está decreciendo a razón de 3 pies/seg., ¿con qué razón disminuye el radio r de la superficie del agua?
10 r
Fig. 4.10
7.
Unapiscina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro extremo. La piscina se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto. Encuentre la rapidez con la que sube el nivel del agua para cualquier valor de h, donde h es la profundidad del agua.
50 20 4 Fig. 4.11 25 2 15
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada8. Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de 1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre el avión y la estación de radar 1 minuto más tarde? 9. Un aeroplano vuela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo aeroplano vuela a la misma altura haciael sur a 400 Km. por hora y pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué tan rápido se separan a la 1:00 p.m.? 10. La rueda moscovita que se muestra en la figura da una vuelta cada dos minutos. ¿Con qué rapidez se eleva una pasajera en el instante en que se encuentra a 54 pies por encima del suelo?
Fig. 4.12 R
R= 60 pies
64 pies
4.2 MONOTONÍA
Ejercicios Propuestos 4.2
1. Determine losintervalos de crecimiento y de decrecimiento: 1. 2. 3.
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
f ( x) = x 4 − x3 5 3 1 3 f ( x) = x − 4 x + 2 3
5
4. 5. 6.
f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5
f (x ) = x 2 − 1
f ( x) = x 3 − 1
(
(
)
)
4
4
4.3 MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Ejercicios Propuestos 4.3
1.
1. Determine el valor máximo y el valor mínimo :
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 +17
5
en [ −2,3]
4. 5. 6.
f ( x) = 3x 3 − 3 x 2 + 12 x − 5
x 4 − x 3 en [ −3,3] 5 3 1 3. f ( x) = x 3 − 4 x + 2 en [ −5,3] 3
2. f ( x ) =
f (x ) = x 2 − 1
f ( x) = x 3 − 1
(
(
)
)
en [ −1,1]
4
en [ −2, 2]
4
en [ −1, 2]
3
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada
4.3.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos
Ejercicios...
Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada
4.1 RAZÓN DE CAMBIO
Ejercicios Propuestos 4.1
1. De un tubo sale arena a razón de 16 pies3/seg. Formando en el suelo una pirámide cónica cuya altura es siempre ¼ del diámetro de la base. ¿Con qué rapidez aumenta la altura de la pirámide cuando la misma tiene 4 pies de longitud? Un depósito cónico de 12 m. de altura y radio de la base4 m., tiene inicialmente 10 m3 de agua. En t=0 comienza a fluir agua al interior del depósito a una razón de 8 m3/h, y al mismo tiempo, por el fondo comienza a salir agua a razón de 5 m3/h. Determine la razón a la que está variando el nivel del líquido después de 3 horas? En un depósito de forma cónica se está vertiendo agua a razón de 225 litros por minuto . El cono tiene 6 metros de profundidady 3 metros de diámetro. Si hay una fuga en la base y el nivel del agua sube a razón de 2.5 centímetros por minuto, cuando el agua tiene un nivel de 4.8 metros, ¿con qué rapidez escapa agua del depósito? 1 Litro = 10 −3 m3 4.
2.
3.
(
)
Considere el reservorio de la figura 4.8, al cual se está vertiendo agua a razón de 50 m3/min. Determine ¿con qué rapidez sube el nivel del agua,cuando éste tiene?: a) 2 m. b) 5 m.
1
2
3
Fig. 4.8 2
5.
4
La orilla de una piscina es un rectángulo de 60 pies de largo y 30 pies de ancho. Su profundidad aumenta uniformemente de 4 a 9 pies en un tramo horizontal de 40 pies y después continúa al mismo nivel los 20 pies restantes, como se ilustra en la figura. La piscina se está llenando a razón de 50 pie3/min de agua. Calculeaproximadamente la RAPIDEZ DE CAMBIO del nivel de agua en el momento que la profundidad es:
a) 4 pies
4' 9' Fig. 4.9 20' 40'
b) 6 pies
6.
Suponga que se vacía el agua de un tanque esférico de radio 10 pies. Si el nivel del agua en el tanque es 5 pies y está decreciendo a razón de 3 pies/seg., ¿con qué razón disminuye el radio r de la superficie del agua?
10 r
Fig. 4.10
7.
Unapiscina tiene 20 pies de ancho, 4 pies de profundidad en un extremo y 10 pies de profundidad en el otro extremo. La piscina se llena bombeando agua a razón de 40 pies cúbicos por minuto. Encuentre la rapidez con la que sube el nivel del agua para cualquier valor de h, donde h es la profundidad del agua.
50 20 4 Fig. 4.11 25 2 15
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada8. Un avión que vuela a velocidad constante de 300 Km/h pasa sobre una estación terrestre de radar a una altura de 1 Km. Y se eleva a un ángulo de 30º. ¿A qué velocidad aumenta la distancia entre el avión y la estación de radar 1 minuto más tarde? 9. Un aeroplano vuela hacia el oeste a 500 Km. Por hora y pasa sobre cierto pueblo a la 11:00 a.m.; un segundo aeroplano vuela a la misma altura haciael sur a 400 Km. por hora y pasa por el mismo pueblo a mediodía. ¿Qué tan rápido se separan a la 1:00 p.m.? 10. La rueda moscovita que se muestra en la figura da una vuelta cada dos minutos. ¿Con qué rapidez se eleva una pasajera en el instante en que se encuentra a 54 pies por encima del suelo?
Fig. 4.12 R
R= 60 pies
64 pies
4.2 MONOTONÍA
Ejercicios Propuestos 4.2
1. Determine losintervalos de crecimiento y de decrecimiento: 1. 2. 3.
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 + 17
f ( x) = x 4 − x3 5 3 1 3 f ( x) = x − 4 x + 2 3
5
4. 5. 6.
f ( x) = 3x 3 − 3x 2 + 12 x − 5
f (x ) = x 2 − 1
f ( x) = x 3 − 1
(
(
)
)
4
4
4.3 MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Ejercicios Propuestos 4.3
1.
1. Determine el valor máximo y el valor mínimo :
f ( x) = 3x 4 − 4 x 3 − 12 x 2 +17
5
en [ −2,3]
4. 5. 6.
f ( x) = 3x 3 − 3 x 2 + 12 x − 5
x 4 − x 3 en [ −3,3] 5 3 1 3. f ( x) = x 3 − 4 x + 2 en [ −5,3] 3
2. f ( x ) =
f (x ) = x 2 − 1
f ( x) = x 3 − 1
(
(
)
)
en [ −1,1]
4
en [ −2, 2]
4
en [ −1, 2]
3
MOISES VILLENA MUÑOZ
Cáp. 4 Aplicaciones de la Derivada
4.3.5 Máximos y Mínimos Locales O Relativos
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