todos

FUNCIONES DE BESSEL
1. LA ECUACIÓN DE BESSEL y SUS SOLUCIONES.
Considérese la ecuación diferencial
Y 1/

1,
+ -y +
X

2

( 1 - -lJ ) y = O
x2

(1)

donde lJ es un parámetro. Dicha ecuación se conoce como ecuación de Bessel
y juega un papel importante en Matemática Aplicada.
Se demuestra que una solución de la eco (1) es la llamada función de
Bessel de primera clase de orden u,la cual se define por
00
(_1)k(x/2Y+2k
Jv(x) = k=O. k' r(lJ + k + 1)
¿

Cambiando

lJ

1 x 1<

00

(2)

por -u, se observa que

E
00

J_u(x) =

(_1)k(x/2)-1I+2k
k! r( -lJ + k + 1)

(3)

t.ambién solución de la eco (1).
Si lJ =1 ti (n = O,1,2, ...), la función J_11 no está acot.ada cuando x -t O
(x)
mientras que Jv(x) tiende a cero en las mismas circunstancias; por lotanto,
JII(x) y J_II(x) son linealment.e independientes y la solución general de la eco
(1) puede escribirse como
0-8

(4)
donde C1 y C2 son constantes arbitrarias.
Cuando lJ = n (n = 0,1,2,· ... ), se tiene que

(5)
En efecto:

Puesto que r(z) es infinita para z entero negativo, los términos de la
suma con k < n se anulan y
1

Haciendo k-n

= s, queda que

-(-I)n+S(x/2t+2s
~(n+s)!r(S+I)=(-I)

-

(-Ir Jn(x)

(_I)S(x/2)n+2s
~s!r(n+S+l)

n 00

00

Se ha visto que cuando l/ = n (n = 0,1,2,' . "), las funciones Jv(x)
y J -v (x) son linealmente dependientes y, en consecuencia, en este caso, la
solución general de la eco (1) no es de la forma (4). Surge así la necesidad
de buscar otra solución de la eco (1) que sea linealmente independiente con
Jv(x)para cualquier valor de u. A tal efecto, considérese la función Yv(x),
definida por

Yv(X) = J,,(x)

COS /J'lr -

J_v(x)

senzor

(6)
(n=0,1,2,····)
Si l/ i= n (n = 0,1,2,' ... ), la función Yv(x) es solución de la eco (1)
puesto que no es más que una combinación lineal de las dos soluciones Jv (x)
y J_v(x). Además, en este caso, la independencia lineal de Yv(x) y Jv(x)
surge comoconsecuencia inmediata de que Jv(x) y J_v(x) son linealmente
independientes.
Usando las series de Jv(x) y J_v(x), y aplicando la regla de L'Hospital,
resulta que

1
-- ¿ (n n-l

7r

k=O

k - 1)! (x/2)2k-n

..:....--_----:...~--=---

k!
2

(n =

°, , ,

1 2 .... )

(7)

donde x > O, Ho = 1'. Hi¿ = 1 + ~ + ~ + ....
constante de Enler, definida por

+~

(m = 1, 2, ....) y 'Yes la

'Y = m-->OQ (Hm - In m) ~ 0.57722157
lím
Cuando ti = O, la última suma en (7) debe reemplazarse por cero. La
presencia del término logarítmico indica que Yn (x) es linealmente indepeg
diente con Jn(x).
La función Y,Ax) es denominada función de Bessel de segunda clase de
orden 1/.
Lnego, la solución general de la ecuación de Bessel, para todo valor de u,
puede escribirsecomo

(8)
En algunas aplicaciones la solución general de la ecuación de Bessel se
expresa en la forma
y = C1H51) (x)

+ C2H52)(x)

(9)

donde H51)(x) y H~2)(X) son llamadas funciones de Bessel de tercera clase
ó funciones de H ankel de orden v ~definidas por

(10)
Una generalización de la ecuación de Bessel, incluye un parámetro
la forma
y"

1
+ -y' + ( .x2
X

.x

en

2
-v
- )
x2

y =O

(11)

Haciendo el cambio z = .xx en (11), se deduce que la solución general de
esta ecuación viene dada por
(12)

3

2. FUNCIÓN O

Jv('Lx) =

L k'

k=O.

(x/2)v+2k
r(
k
1/

+ + 1)

Puesto que Jv(ix) es solución de (22), también lo es i- Jv(ix).
define la solución de argumento real
V

00

(x/2)v+2k

Iv(x) = {; k! f(1/

+ k + 1)

1 x 1<00

Así, se

(23)

denominada función de Bessel modificada de primera clase de orden 1/.
La función Lv{x) es otra solución de la eco (22). Si 1/ =1= n (n = 0,1,2,···)
las funciones Iv(x) y Lv{x) son linealment.e independientes y la solución
general de la eco (22) puede escribirse como
y = C¡Iv{x)
Cuando

1/

= n (n =

+ é2Lv(X)

(24)

O, 1,2,· .. ) se tiene que

(25)
8...