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Cap´ ıtulo 1 Aplicaciones de la integral
Hasta ahora “´nicamente” hemos aprendido a calcular integrales, sin u plantearnos la utilidad que ´stas pueden tener. Sin embargo, la integral e definida es un m´todo r´pido para calcular ´reas, vol´menes, longitudes, e a a u etc., lejos de los procesos lentos y laboriosos que empleaban los griegos. En f´ ısica, su empleo es constante, al estudiar elmovimiento, el trabajo, la electricidad. Ahora vamos a ilustrar las distintas aplicaciones que tiene el c´lculo a integral

1.

C´lculo de ´reas planas a a

Tal c´mo hemos visto antes, la integral definida es una generalizaci´n o o del proceso del c´lculo de ´reas. Ahora bien, el ´rea de un recinto es siempre a a a positiva, mientras que la integral puede ser positiva, negativa o nula. Por tanto,en la aplicaci´n de la integral al c´lculo de ´reas, debe tenerse en o a a cuenta el signo de cada uno de los recintos limitados por el eje OX, y tomar el valor absoluto de los mismos. Su suma es el ´rea. a Ejemplo 1 : Hallar el ´rea de la regi´n limitada por la curva y = x2 , el eje OX y las a o rectas x = 2 y x = 4. 1

Javier Mart´ ınez del Castillo

Aplicaciones de la integral

2Hallar el ´rea de la regi´n limitada por la curva y = x3 − 3x2 − x + 3 y a o el eje OXen el intervalo [1, 3]. Hallar el ´rea delimitada por la gr´fica de y = cos x y el eje OX, en el a a intervalo [0, 2π]. Con escasas modificaciones podemos extender la aplicaci´n de la integral o definida para cubrir no s´lo el ´rea de la regi´n bajo una curva, sino el de o a o una regi´n comprendida entre dos curvas.Por tanto, obtenemos el siguiente o resultado : ´ Teorema (Area de una regi´n entre dos curvas): Si f y g son o funciones continuas en [a, b] y se verifica que g(x) f (x) ∀x ∈ [a, b], entonces el ´rea de la regi´n limitada por las gr´ficas de f y g, y las rectas a o a verticales x = a y x = b, es :
b

A =
a

[f (x) − g(x)] dx ν

Observaciones: Es importante darse cuenta de que la validez de laf´rmula del ´rea o a depende s´lo de que f y g sean continuas y de que g(x) f (x). o Las gr´ficas de f y g pueden estar situadas de cualquier manera respecto a del ejeOX. Si, c´mo suele ocurrir, unas veces se cumple que g(x) o f (x) y otras veces que f (x) g(x), entonces el ´rea de la regi´n comprendida entre f y a o g sobre el intervalo [a, b], viene dado por la f´rmula: o
b

A =
a

| f (x)− g(x) | dx ,

En la pr´ctica, no se suele trabajar con el valor absoluto, puesto es m´s a a f´cil dibujar las gr´ficas de f y g, calculando los puntos de intersecci´n de a a o ambas, y sumar una o m´s integrales para obtener el ´rea deseada. a a Ejemplo 2: √ Hallar el ´rea de la regi´n limitada por f (x) = x2 y g(x) = x. a o Hallar el ´rea de la regi´n limitada por f (x) = x2 y g(x) = x3 . a oJavier Mart´ ınez del Castillo

Aplicaciones de la integral

3

Hallar el ´rea de la regi´n limitada por f (x) = x2 ,g(x) = −x + 2, y el a o ejeOX. Hallar el ´rea de la regi´n limitada por f (x) = x2 + 2,g(x) = −x en a o [0, 1]. Hallar el ´rea de la regi´n limitada porf (x) = 3x3 − x2 − 10x y g(x) = a o 2 2x − x Observaci´n: Algunas veces es m´s conveniente calcular el ´rea inteo a agrando respecto a la variable yen vez de la variablex. , Ejemplo 3: Hallar el ´rea de la regi´n limitada por la gr´fica de y 2 = a o a 3 − x e y = x − 1. 2. C´lculo de vol´ menes a u Al introducir la integraci´n, vimos que el ´rea es solamente una de las o a muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicaci´n importante la o tenemos en su uso para calcular el volumen de un s´lidotridimensional. o Si una regi´n de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo o plano, se obtiene una regi´n tridimensional llamada s´lido de revoluci´n o o o generado por la regi´n plana alrededor de lo que se conoce como eje de o revoluci´n. Este tipo de s´lidos suele aparecer frecuentemente en ingenier´ o o ıa y en procesos de producci´n. Son ejemplos de s´lidos de revoluci´n: ejes, o o o...