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1.- Series Finitas e Infinitas
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
| Esto significa "suma de 1 a 4" = 10 |
| |
| Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"

Queson los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24 |
En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an como donde n es el índice final de la serie. Las series infinitas son aquellas donde i toma el valor de absolutamente todos los números naturales, es decir,.
Las series convergen o divergen. En cálculo,una serie diverge si no existe o si tiende a infinito; puede converger si para algún.
A) Definición de Series Infinitas
Si es una sucesión y entonces es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por
los números son los términos de la serie infinita.

Ejemplo:
Sea la serie infinita
a. obtenga los primeros cuatro elementos de la sucesión de sumas parcialesSolución
(a) como

b. determine una fórmula para en términos de n.
c. como
Se tiene, mediante fracciones parciales. Por tanto,

de esta forma, como

Al eliminar los paréntesis y reducir los términos semejantes se obtiene:
si se considera n como 1, 2, 3 y 4 en esta ecuación, se verá que los resultados anteriores son correctos.

Teorema
Una serie infinita de términos positivoses convergente si y sólo si su sucesión de sumas parciales tiene una cota superior.
En sí mismo, este criterio no es muy útil: decidir si el conjunto es o no acotado es precisamente lo que no sabemos hacer. Por otra parte, si se dispone de algunas series convergentes para comparación se puede utilizar este criterio para obtener un resultado cuya sencillez encubre su importancia (constituye labase para casi todas las demás pruebas).

Ejemplo:
Demuestre que la serie es convergente:
Solución:
se debe obtener una cota superior para la sucesión de sumas parciales de la serie

ahora se consideran los primeros n términos de la serie geométrica con a = 1 y r = :
la serie geométrica con a=1 y r=tiene la suma a/(1-r)=2. en consecuencia, la suma de la ecuación anterior es menor que 2.Observeque cada término de la suma primera es menor que o igual al término correspondiente de la suma siguiente.
Esto es,esto es cierto porque k¡ = 1 · 2 · 3 ·….· k, que , además del factor 1.
Contiene k – 1 factores cada uno mayor que o igual a 2. En consecuencia.
de lo anterior, tiene la cota superior 2. Por tanto, por el teorema de la serie infinita la serie dada es convergente.

Algunos tiposde series
* Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

* La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.
* Una serie alternada es una serie donde los términosalternan el signo. Ejemplo:

* Una serie telescópica es la suma, donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:


La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

* Una serie hipergeométrica[] es una serie de la forma, que cumple que =.

B) Definición de Series Finitas
Serie finitas: Tienen un número limitado de términos.Forma general de una serie:
SN=ann=0NΣ=a0+a1+a2+....+aN→ Suma de N términos.

Si N es finito, la suma (SN) también es finita.
Problema fundamental: ¿Qué pasa cuando N → ∞?
Si SN tiene un valor finito cuando N → ∞, se dice que la serie converge.

2.- Convergencia de series: Pruebas de la Razón y de la Raíz.
Prueba fundamental de convergencia:
Una serie converge a S si:
S−SN <ε,...