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Capítulo 11
CAPÍTULO 11 CIRCULO DE MOHR
11.1 ESFUERZOS EN EL SUELO ESFUERZOS NORMALES Y TANGENCIALES
Notación: σ = Sigma = Esfuerzo normal o directo a la superficie. τ = Tau = Esfuerzo de cizalladura o cortante a la superficie. σ > 0 = Compresión; σ < 0 = Tracción. τzx = Cortante en la dirección X, sobre el plano Z (el plano Z es el plano X – Y). σz = Esfuerzo normal yen la dirección Z. Sobre las caras del cubo existen 9 elementos (fig. 11.1), las que se pueden escribir así: Figura 11.1 Esfuerzos en una masa de suelo
σ xx τ yx τ zx
τ xy τ xz σ yy τ yz = σ = Tensor general de esfuerzos en R3 τ zy σ zz
(11.1)
Tomando momentos (esfuerzo, por área, por distancia) para hacer rotar el cubo en torno a un eje central paralelo al eje Z eigualando a 0 (cero), tenemos que τxy y τyx son los dos esfuerzos que pueden hacerlo.
[τ
entonces:
xy
* a 2 * a 2 − τ yx * a 2 * a 2 = 0
τxy = τyx
(11.2)
] [
]
Reduciendo el problema a dos dimensiones únicamente, (11.1) puede escribirse con sólo 3 componentes y no 4, según (11.2).
σ x τ xy = σ = Tensor de esfuerzos en R2 (11.3) τ σy xy
En el plano Z (o X,Y), sedibuja las 4 componentes del esfuerzo. En este caso σx, σy compresivos. τyx se ha hecho τxy. Entonces, de las 4 componentes del esfuerzo, tres son independientes: Las de la ecuación (11.3).
Figura 11.2 Esfuerzos en un plano
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Círculo de Mohr
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La ecuación (11.3) y la ecuación (11.1) se pueden expresar, para los esfuerzos principales, en R2 y R3, así:
0 σ σ = 1 0σ2
y
σ 1 0 σ = 0 σ2 0 0
0 0 σ3
(11.4)
Los tensores expresados en (11.4) suponen una rotación del sistema, hasta que los cortantes se hagan nulos (τi j = 0), según lo visto en la Sección 10.6. 11.2 ESFUERZOS EN UN PLANO. El problema es que, conocido el tensor en R2, calcular σθ y τθ, siendo θ el ángulo del plano con el eje Y (o del esfuerzo normal al plano, con el eje X).NOTA: La matriz de cosenos directores en R2 es la del coseno del ángulo de (σθ, τθ) con (X, Y):
( θ cos90° −θ ) cosx' x cosx' y cos Tθ = = cos90° +θ ) cos θ cosy' x cosy' y (
Figura 11.3 Esfuerzos en un plano.
cosθ Tθ = − sen θ
sen θ cosθ
(11.5)
Para (11.9) Considerando el equilibrio estático, la ΣF = 0 ∴ AB PX = OB σX + OA τXY ; AB PY = OA σX + OB τXYPero OA = AB senθ OB = AB cosθ
(11.6) (11.7)
Llevo (11.7) a (11.6) y cancelo AB PX = TX cosθ + τXY senθ Pero a) σn = PX cosθ + PY senθ PY = σY cosθ + τXY senθ b) τn = PY cosθ - PX senθ (11.8) (11.9)
(11.8) en (11.9) ∴ tendiendo en cuenta (11.2) y aplicando la identidad de las fórmulas 11.17: σθ = σX cos2θ + 2τxy senθ cosθ + σY sen2θ que se transforma
σθ =
(σ
x
+σ y ) 2
+(σ
x
−σ y ) 2
cos 2θ + τ xy sen 2θ
(11.10)
τθ = τxy (cos2θ - sen2θ) – (σx – σy)senθ cosθ
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Círculo de Mohr
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τ θ = τ xy cos 2θ −
tg 2θ =
(σ
x
−σ y ) 2
sen 2θ
(11.11)
además,
(σ
− 2τ xy
x
−σ y )
(11.12)
Por convención, los esfuerzos principales son σ1 ≥ σ2 ≥ σ3. En R2 σ1 ≥ σ2.
σ1 = σ2 =
1 2 (σ x + σ y ) + 1 (σ x − σ y)2 + 4τ xy 2 2 1 2 (σ x + σ y ) − 1 (σ x − σ y )2 + 4τ xy 2 2
[
]
1
2
(11.13)
[
]
1
2
(11.14)
A veces es conveniente el análisis de los ejes X e Y en la dirección de σ1, σ2, entonces de (10) y (11), cuando τxy = 0:
σθ =
1 (σ 1 + σ 2 ) + 1 (σ 1 − σ 2 ) cos 2θ 2 2 1 (σ 1 − σ 2 ) sen 2θ 2
(11.15)
τθ = −
(11.16)
(11.10) – (11.11) –(11. 13) – (11.14)– (11.15) y (11.16) se denominan “ECUACIONES PARAMÉTRICAS” IDENTIDAD Cos2θ = cos2θ - sen2θ
1 2 (1 + cos 2θ )
sen2θ = 2senθ cosθ
cos 2 θ =
sen 2 θ =
1
2
(1 − cos 2θ )
(11.17)
11.2.1 El plano de máximo esfuerzo de cizalladura: Se encuentra con la ecuación (11.16); en ella τθ es máximo cuando sen 2θ = 1 ⇒ θ = 45°
τ max =
11.2.2 Esfuerzo hidrostático: Cuando σ1 = σ2...
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