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Resolución de triángulos rectángulos
Las relaciones métricas del triángulo rectángulo son cuatro. Los tres triángulos formados al trazar la altura relativa a la hipotenusa son rectángulos y semejantes.

Ilustración de los principales elementos del triángulo rectángulo:
a es la hipotenusa,
b el cateto mayor,
c el cateto menor,
h la altura relativa a la hipotenusa,
m la proyección delcateto b y
n la proyección del cateto c.
La hipotenusa es igual a la suma de las proyecciones.

Por semejanza de triángulos, tenemos que:
El cuadrado de la altura relativa de los catetos.

El cuadrado de un cateto, es igual al producto entre su proyección (que se encuentra de su lado) y la hipotenusa.

El producto entre la hipotenusa y la altura relativa a ella, es igual al producto de loscatetos.

Teorema de Pitágoras.
El teorema de Pitágoras establece que:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. |
Fórmulas para calcular un lado desconocido en función de los otros dos, donde a y b son los catetos y c es la hipotenusa.
Pitágoras ( c²=a²+b² ) – Fórmulas prácticas |
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Teorema de la altura
Elteorema de "la altura de un triángulo rectángulo" establece que:
Teorema de la altura (forma 1)En cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa. |
Demostración
La altura del triángulo rectángulo ABC (véase Figura 1) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma queMultiplicando los dos miembros de la igualdad por  se tiene:

por lo que:
(1)

Otra forma del mismo teorema
La altura h correspondiente a la hipotenusa de un triángulo rectángulo (véase Figura 1) también puede obtenerse reemplazando a los valores m yn de la ecuación (1) del presente teorema por sus respectivos equivalentes dados por el teorema del cateto.
    ;    
(h2)
Lo que alsimplificar en el último término de la ecuación (h2) la raíz con los cuadrados nos conduce a :
(h3)
Donde h es la altura (relativa a la hipotenusa), b y c los catetos y a la hipotenusa.
La ecuación (h3) nos permite establecer el enunciado (forma 2) del teorema :
Teorema de la altura (forma 2)En todo triángulo rectángulo la altura h (relativa a la hipotenusa) es igual al producto de suscatetos b y c divididos por la hipotenusa a. |
Teorema del cateto
El teorema del cateto establece lo siguiente
Teorema del catetoEn todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección de ese cateto sobre la hipotenusa. |
Este teorema (véase Figura 1) puede expresarse matemáticamente —para cada uno de sus dos catetos— como:

Donde m y n son,respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa c.
Demostración

Figura 1 - Los segmentos m y n son las respectivas proyecciones de los lados b y a sobre la hipotenusa c, siendo h la altura correspondiente a la hipotenusa.
Sea el triángulo ΔABC rectángulo en C, dispuesto de modo que su base es la hipotenusa c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente,las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa.
Los triángulos rectángulos ΔABC, ΔACH y ΔBCH tienen iguales sus ángulos, y por lo tanto son semejantes:
1. Todos tienen un ángulo recto.
2. Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
3. Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.
Puesto que en las figurassemejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:

Por la semejanza entre los triángulos ΔACH y ΔABC

de donde,

Por la semejanza entre los triángulos ΔBCH y ΔABC

y el teorema queda demostrado.
Corolario
“En todo triángulo rectángulo la longitud de la proyección ortogonal de cualquier cateto sobre la hipotenusa es igual al cuadrado de la longitud de ese mismo cateto...