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Radicales

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS RADICALES

OPERACIONES CON RADICALES
Un radical es cualquier raíz indicada de una expresión. La radicación es la operación inversa de la potenciación y se representa por el símbolo expresión denominada subradical. Para resolver una raíz, se busca una cantidad que elevada a un exponente igual al índice del radical seaigual al subradical. El radical puede ser racional si la raíz indicada es exacta o irracional si no lo es. Ejemplos. 1) El subradical de la expresión 2) 3) 5)
3

n

, donde

n es el índice del radical y dentro se ubica una

5 x + 3 es 5 x + 3

16x 17x
4

2 4

es un radical racional porque su resultado,

4 x , es exacto.

es un radical irracional porque su resultado no es exacto.6c − 4d es un radical de cuarto grado a =2 a.

En los radicales de segundo grado se omite su índice, esto es: Si a = b ,
n

a es una raíz enésima de b .

Ejemplos

3 es una raíz cuadrada de 9 2) Si 5 = 625 entonces 5 es una raíz cuarta de 625
4

1) Si 3 = 9 entonces
2

Si

n es par, a n ≥ 0 , por lo que un número negativo no puede tener raíz enésima .

Ejemplos 1) Si 2) SiSi
6

− 16 no tiene raíz cuadrada en R. − 64 no tiene raíz sexta en R.

n es par y b = a n , también b = (− a )n , así que b tiene dos raíces enésimas, a y − a .

Ejemplos 1) Como 5 = 25 y (− 5 ) = 25 ,
2 2 4 4

2) Como 3 = 81 y (− 3) = 81 ,

5 y − 5 son raíces cuadradas de 25 . 3 y − 3 son raíces cuartas de 25 .

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Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

RadicalesAutor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Si

n es impar, todo número real tiene exactamente una raíz enésima.

Ejemplos

216 = 6 . 2) 5 − 32 = −2 Si b ≥ 0 , hay una única raíz enésima no negativa de b representada por
1)
3

n

b

Ejemplo. Si 49 = 7 , entonces
2

7 es una raíz cuadrada de 49 y como 49 = (− 7 )2 , − 7 es otra raíz cuadrada de

49 . Pero

49 denota exclusivamentea la raíz no negativa de 49 .

Si x ≥ 0 , m , n ∈ N, a ley de exponentes fraccionarios establece que:

x = n xm
Esto es, cualquier expresión elevada a un exponente fraccionario es igual a una raíz cuyo índice es el denominador y el subradical es la misma expresión elevada a la potencia que tiene el numerador. En el caso particular, si

m n

m = n , se tiene que: x = n x n

Los radicalescumplen con las siguientes propiedades: 1) El producto de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del producto de los subradicales. Esto es: n a ⋅ n b = n a ⋅ b si a > 0 , b > 0 , n ∈ N. 2) El cociente de dos radicales de un mismo índice es igual a la raíz del cociente de los subradicales.

a n a = si a > 0 , b > 0 , n ∈ N. n b b 3) Un radical de índice n elevado a una potencia mequivale a una raíz de índice n y de subradical
Esto es: elevado a la potencia m . Esto es: n a = 4) La raíz de índice m de un radical de índice índice

n

( )

m

n

a m si a > 0 , m , n ∈ N.
m n

n es equivalente a una raíz de índice n de un radical de
a =n
m

m y es igual a una raíz de índice m⋅ n . Esto es:
n

a = m⋅n a si a > 0 , m , n ∈ N.

Es importante notar que lasuma algebraica de dos radicales de cualquier índice no es igual a la raíz de la suma algebraica de los subradicales. Es decir:

a ± n b ≠ n a±b

De acuerdo con la ley de exponentes fraccionarios y de las propiedades de los radicales, el objetivo de simplificar un radical es expresarlo en su forma más simple. Es decir, un radical está simplificado cuando:
• • • •

No se puede extraer ningúnfactor del radicando (es el menor posible). No puede reducirse su índice (es el menor posible). El radicando no es una fracción. No hay radicales en el denominador de una fracción.

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SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES A TRAVÉS DE LA EXTRACCIÓN DE FACTORES DEL SUBRADICAL Un radical se puede...