Tomemos

Tomemos, por ejemplo, la circunferencia cuyo centro está dado por C (2, ─3), con radio r = 5 que se muestra en la figura
Para obtener la ecuación general de la circunferencia que estamos viendopodemos usar dos métodos:
Método por desarrollo y
Método con las fórmulas conocidas.
Método por desarrollo
Como conocemos el centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces la fórmula ordinaria de lacircunferencia será
(x ─ a)2  +  (y ─ b)2 = r2 donde a y b son las coordenadas del centro C (a, b), que en nuestro caso corresponde a C (2, ─3)
entonces, nuestra ecuación ordinaria quedará como
(x ─ 2)2  + (y ─ ─ 3)2  = 52
(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 52
(x ─ 2)2  +  (y + 3)2  = 25
Nota: algunos usan otras letras, como (x ─ h)2  +  (y ─ k)2
  
Sigamos.
Tenemos nuestra ecuación ordinaria
(x ─ 2)2  +  (y +3)2  = 25
y desarrollamos  sus dos binomios:
(x  ─ 2) (x  ─ 2) + (y  +  3) (y  +  3) = 25
(x2 ─ 2x ─ 2x + 4) + (y2 + 3y + 3y + 9) = 25
(x2 ─ 4x  +  4) + (y2 + 6y + 9) = 25
Recordemos que la estructurade la ecuación general de la circunferencia es
x2  + y2 + Dx + Ey + F = 0
Entonces, ordenamos nuestra ecuación anterior y la acomodamos de acuerdo con la fórmula general:
x2  +  y2  ─ 4x  +  6y + 4 +9 ─ 25 = 0
x2  +  y2  ─ 4x  +  6y  ─ 12 = 0
que es la ecuación general de la circunferencia con centro en las coordenadas 2,  ─3 y cuyo radio es 5.
 


Método con las fórmulas conocidas
Como conocemosel centro, C (2, ─3) y el radio (r = 5) entonces aplicamos las fórmulas
Si     entonces   D = ─ 2a    
Si       entonces   E = ─ 2b    
Si       entonces    F = a2 + b2 ─  r2 
Recordemos que C (2,─3)  corresponde a C (a, b)
Entonces, hacemos:



F = 4 + 9 ─ 25 = ─12
 

Resolución por desarrollo
En este caso podemos usar las fracciones o convertirlas a decimales:.
Como el centro no está en elorigen vamos a usar la fórmula ordinaria para llegar a la desarrollada:
Para hacerlo, partamos de aquí:
(x ─ a)2  +  (y ─ b)2 = r2
 
Volvamos a la fórmula:
Reemplacemos los valores en las coordenadas...