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8 Statistic toolbox

Matlab provee en este toolbox, un conjunto de funciones o archivos-m, que permiten desarrollar con facilidad el estudio y análisis de un curso de estadística de primer grado de Ingeniería o Ciencias. En este apunte conoceremos los siguientes tópicos:


Distribuciones de Probabilidad
Función de densidad de probabilidad, distribución acumulada, etc.
Modelos lineales yno lineales
Múltiples regresiones lineales, ajuste no lineal, predicción no lineal, etc.
Estadistica mutivariable
Análisis por componentes principales, análisis discriminante, etc.
Gráficos estadisticos y control.
Control de gráficos de distribuciones normales, ajuste de curvas, etc.



8.1 Distribuciones de probabilidad
La naturaleza de un experimento establece la distribución deprobabilidad, que puede ser adecuada para modelar la ocurrencia de determinados fenómenos. Estas distribuciones pueden ser continuas o discretas.


8.1.1 Función de densidad de probabilidad (pdf)
Para distribuciones discretas, la pdf nos entrega la probabilidad de ocurrencia de un particular resultado. En cambio, para distribuciones continuas, la probabilidad de observar cualquier valor es nula.Aquí la probabilidad se obtiene al integrar la pdf sobre el intervalo de interés.


Ejemplo: Distribución binomial, p=0.5, x=[0,10].



x=0:10;
y=binopdf(x,10,0.5);
plot(x,y,'o');





Ejemplo: Distribución chi-cuadrado: 2.


x=0:0.5:15;
y=chi2pdf(x,4);
plot(x,y,'-o');




Ejemplo: Distribución uniforme discreta. Se utiliza distribución acumulada (cdf). N=10.

x=0:10;y=unidcdf(x,10);
stairs(x,y)
set(gca,'Xlim',[0 11]);

» n=unidrnd(10,1,4)
n =
10 8 2 5

Aquí, de los números del 1 al 10, escojo en forma aleatoria uniforme, un vector de 1 x 4.


Ejemplo: Distribución de Poisson. =5.



x=0:15;
y=poisspdf(x,5);
plot(x,y,'+');
set(gca, 'Ylim', [0 0.2]);




Ejemplo: Distribución Student’s. v=5.


x=-5:0.1:5;
y=tpdf(x,5);z=normpdf(x,0,1);
plot(x,y,'-',x,z,'-.');

Comparación con la distribución normal.




8.1.2 Función distribución acumulada (cdf)
La función de distribución acumulada, se define sobre la función de densidad de probabilidad f, como sigue:

Así, la cdf de una valor x, F(x), es la probabilidad de observar cualquier resultado menor o igual que x. Luego F(x) está entre 0 y 1.


Ejemplo.Distribución acumulada de la distribución normal. Media nula, desviación 1.



x=-3:0.05:3;
y=normpdf(x,0,1);
z=normcdf(x(1:i),0,1);
plot(x,y,'-.',x,z,'-');
set(gca,'Ylim', [0 1.1]);





8.1.3 Generación de números aleatorios
Conocemos las primitivas rand y randn para generar números aleatorios desde distribuciones uniforme y normal respectivamente. Ahora, mediante el toolbox deestadística, podemos generar este tipo de números según una distribución en particular.

Ejemplo: Números aleatorios de distribución exponencial. Media==2.


x=0:0.1:10;
y=exppdf(x,2);
n=exprnd(2,1,100);
subplot(211),plot(x,y);
subplot(212),plot(n,'.');
2-mean(n)

Del ejemplo vemos la distribución exponencial, con media=2. Lo anterior se aprecia en el gráfico de números aleatoriosR=exprnd(2,3,4)
R =
1.2159 1.4271 1.8962 0.2393
2.8735 0.6422 2.8412 0.5790
1.2948 10.6202 2.1009 0.9333
» mean(mean(R))
ans =
2.2220



8.2 Modelos lineales y no lineales
Diversos fenómenos pueden ser modelados como dinámicas de comportamiento lineal o no lineal. Para estos modelos, es necesario determinar sus parámetros a partir de lasmediciones de dichos fenómenos, tarea denominada regresión.


8.2.1 Modelo lineal
Un modelo lineal posee la siguiente estructura: , donde

y
Vector de mediciones de n por 1
X
Matriz de diseño de n por p

Vector de parámetros de p por 1

Vector de perturbación aleatoria de n por 1

Ejemplo: Análisis de varianza en un sentido. (ANOVA 1)

El propósito de ANOVA es determinar, a partir...