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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DEL PERÚ LISTA DE EJERCICIOS 2011 CURSO : Analisis Matemático II PROFESOR : . ————————————————————————————————— 1. En los problemas del 1 al 9 establezca el máximo dominio de de…nición posible de la función f dada 2. f (x; y) = e(
x2 y 2 )

3. f (x; y) = ln(x2 4. f (x; y) =

y2

1)

x+y x y p 5. f (x; y) = 4 x2 6. f (x; y) =

y2

1 + sin xy xy 1 + sin xy x2 +y 2 1 z x2 y2
!

7. f (x; y) =

1 2 + y2 + z2 9. f (x; y; z) = e x 10. f (x; y; z) = ln(xyz)

8. f (x; y; z) = p

En los problemas 10 al 16 describa la grá…ca de la función 11. f (x; y) = 10 12. f (x; y) = x + y 13. f (x; y) = x2 + y 2 p 14. f (x; y) = 4 x2 15. f (x; y) = 16 y2 p

y2

16. f (x; y) = 10 x2 + y 2 p 17. f (x; y) = 36 4x2 9y 2

En los problemas 17 al 23 bosqueje algunascurvas de nivel tipicas de la función f 1

18. f (x; y) = x

y

19. f (x; y) = x2 + 4y 2 20. f (x; y) = y x3 4x 6x + 4y + 7

21. f (x; y) = x2 + y 2 22. f (x; y) = x2 + y 2 23. f (x; y) = e 24. f (x; y) =
x
2

y

2

1 1 + x2 + y 2 Para cada una de las funciones z = f (x; y) dadas en los ejercicos 24-29 demuestre que el límite lim(x;y)!(0;0) f (x; y) no existe x2 y 2 x2 + y 2 x2 yx3 + y 3 xy 2 y 4 + x2 2xy 4 x5 + 6y 5 x6 x8 x3 y 2 + y4

25. f (x; y) = 26. f (x; y) = 27. f (x; y) = 28. f (x; y) = 29. f (x; y) = 30. f (x; y) =

x4 y + y2 En los ejercicios 30-33 calcule los límites indicados x2 x x3 (x 1 y + 2 1 y 1 1

31. lim(x;y)!(1;1) 32. lim(x;y)!(1;1) 33. lim(x;y)!(0;0) 34. lim(x;y)!(0;1)

1 y4 1 1) (y 2 1)

sin x sin 3y 2xy

y 2 + 2y 3 (1 cos x) x2 (y 1)Analice la continuidad de las siguientes funciones x2 y 2 x2 + y 2 2

35. f (x; y) =

36. f (x; y) =

8 <

8xy 3
2

37. f (x; y) =

38.

39.

40.

41.

x2 y 2 x2 y 2 + (x y)2 8 x2 +y 2 ) > < e ( si (x; y) 6= (0; 0) f (x; y) = > x2 + y 2 : 0 si (x; y) = (0; 0) 8 < p xy si (x; y) 6= (0; 0) x2 + y 2 f (x; y) = : 0 si (x; y) = (0; 0) 8 4xy 4 < si (x; y) 6= (0; 0) 2 2 2 f (x; y) = :(x + y ) 0 si (x; y) = (0; 0) 8 xy 3 < si (x; y) 6= (0; 0) 2 + y6 f (x; y) = x : 0 si (x; y) = (0; 0) En los ejercicos 41-47, identi…que las expresiones dadas como derivadas parciales de funicoens de varias variables respecto alguna de sus variables. Obtenga la derivada parcial indicada (x + h) y 5 h
4

2 2 : (x + y ) 0

si (x; y) 6= (0; 0) si (x; y) = (0; 0)

42. limh!0 43. limh!0

x4 y5 tan2 x

44. limh!0 45. limh!0

3y 2 sin(x + h)2 + tan2 (x + h) 3y 2 sin x2 h y+h x y x ln + 3 ln ln 3 ln x y+h x y h p p (x + h)y sin z xy sin z h x z+h + + (z + h) cos5 (z + h)4 z+h y h ex
2 2 2 1 3

46. limh!0 47. limh!0

xy + z 2 + z cos5 z 4 zy

1 3

ehyz e(xyz) h y sin xz(cos xh 1) + y cos xz sin xh 48. limh!0 h En los ejerciciso 48-73 obtenga todas las derivadas parciales delas funciones indicadas
y z

e2xhy

2 2

z

2

2

3

49. f (x; y) = 4x2 y 4 50. f (x; y) = arcsin 51. f (x; y) = x+y x y

3x2 + 8y 3

3

y x + arccos x y

52. f (x; y) = x + y + xy + 53. f (x; y) = xy + y x

x y + y x

54. f (x; y) = xx + y y + xy y x 55. f (x; y) = (2x + 3y) + (2x + 3y)
x y

x

y

56. f (x; y) = xy + y x + (xy )x (y x )y 57. f (x; y) = 1 ln2 (1+ x2 + y 2 )
x

58. f (x; y) = (2y) + 2y y ln x p 60. f (x; y) = arccos x2 + y 2 62. f (x; y) = ln 1 59. f (x; y) = x ln y

61. f (x; y) = arctan (2x + 3 sin x) (x2 + y 2 ) 2
1 1

y

1 + (x2 + y 2 ) 2 1 (x2 + y 2 + z 2 ) 2
1 1

63. f (x; y; z) = ln

1 + (x2 + y 2 + z 2 ) 2

64. f (x; y; z) = xy + xz + y x + y z + z x + z y 65. f (x; y; z) = (xy ) + (xz ) + (y x ) + (y z ) + (z x )+ (z y ) p 66. f (x; y; z) = x2 arctan 1 + y + z + ln(1 + y + z) 67. f (x; y; z) = xy sin z + xz cos y + yz tan x 68. f (x; y; z) = x2 y 3 z 4 sin2 x cos3 y tan4 z 69. f (x; y; z) = ln x x y y z z + + + + + y z x z x y
z y z x y x

70. f (x; y; z; u) = xy+z+u z x+y+u 71. f (x; y; z) = x1 x2 xn 1 + + :::: + x2 x3 xn 4

72. Sea f (x; y; z) = xy +xz +y x +z x +z y Calculñe las derivadas...