topo

Cap´
ıtulo 3
Las Funciones Trigonom´tricas
e
3.1.

El c´
ırculo trigonom´trico
e

Vamos a suponer conocido el sistema cartesiano en lo que se refiere a conceptos fundamentales como son los de abscisa y ordenada de un punto, ubicaci´n de diferentes puntos
o
en el plano, algunas relaciones como por ejemplo, la distancia entre dos puntos dados.
Sean P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ),

P(x1,y1)
1

La distancia P1 P2 esta dada por:
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

P(x2,y2)
2
En un sistema cartesiano ortogonal (U, V ), definimos una circunferencia con centro
en el origen (0, 0) y radio 1. Esta circunferencia, a la que se le acostumbra llamar c´
ırculo
trigonom´trico, s´lo sirve de ayuda para comprender algunos conceptos, una vez definidas
e
o
las funciones trigonom´tricas.
eB
I

II
C
III

P(u,v)

O (0,0)
IV

A

”u”se llama abscisa de P (u, v)
”v”se llama ordenada de P (u, v)
Note que
∀(u, v) : (u − 0)2 + (v − 0)2 = 1 ⇒ u2 + v 2 = 1
A = (1, 0), B = (0, 1), C = (−1, 0) y D = (0, −1)

D

27

Las Funciones Trigonom´tricas
e

28

Tomaremos siempre el eje OU , como origen de ´ngulos, as´
a
ı

x 0 y tg α < 0, como:
2
2

Trigonometr´ ygeometr´ anal´
ıa
ıa
ıtica

Luis Zegarra A.

Las Funciones Trigonom´tricas
e

1− 24
23
2

sen α =
2

1−cosα
2

=

tg α = −
2

1−cosα
1+cosα

45

= − 1 , luego
7

A=

√

1
2 5√2 + − 1 =
7

1
5

1
√
5 2

=

−

1
7

=

7−5
35

=

2
35

3. Demostrar que
cos(420◦ + α) + cos(60◦ − α) = sen(90◦ − α)
Demostraci´n.
o

cos(420◦ + α) +cos(60◦ − α) = cos(360◦ + (60◦ + α)) + cos(60◦ − α)
= cos(60◦ + α) + cos(60◦ − α) aplicando f´rmula 3.15 - 24
o
= 2 cos60 cos α = 2 · 1 cos α = sen(90◦ − α)
2
4. Determine los valores de
i) sen(270◦ + α ) si sen α = 0,6
2
ii) tg α si cos α = −

√

3
2

Soluci´n.
o

i) Si sen α = 0,6 = 3 =⇒ α ∈ I o II cuadrantes en ambos casos
5
por tanto cos α > 0, luego
2
sen 270◦ +

α
2= −cos α
2
=−

α
2

∈ I cuadrante

(por 3.9 caso 7)

1+cos α
2

=−

1+ 4
5
2

= − √3
10

√

ii) Si cos α = − 23 =⇒ α ∈ I o III cuadrantes, por tanto tg α < o tg α > 0,
1
as´ tg α = ± √3
ı

Trigonometr´ y geometr´ anal´
ıa
ıa
ıtica

Luis Zegarra A.

Las Funciones Trigonom´tricas
e

46

5. Desde un punto A de un plano a nivel, el ´ngulo de elevaci´n deuna cometa es
a
o
α y su direcci´n, sur; y desde un lugar, B, que est´ ”c” m. al sur de A sobre el
o
a
plano, la cometa se ve hacia el norte con un ´ngulo de elevaci´n β. Demuestre que
a
o
la distancia de la cometa a A y su altura sobre el plano son:
c sen β
sen(α + β)

y

c sen α sen β
sen(α + β)

respectivamente.
Soluci´n.
o

C

N
d
A

h

a
x

y

c

⇒h=

csen α sen β
sen(α+β)

⇒d=

h
sen α

=

x + y = h(cotgα + cotg β)

x = h cotg α
y = h cotg β

=⇒
c=h

B

por otra parte sen α =

cos α
sen α

+

cos β
sen β

h
d

c sen β
sen(α+β)

√
√
4− 3
4+ 3
6. Si cotg α = √
y cotg β = √ , demuestre que
3
3
i) cosec2 α + cosec2 β =

44
3

ii) 3 cotg(α − β) = 8
Soluci´n.
o

i) Note que
cotg α =

4
√
3

−1cotg β =

4
√
3

+1

de aqu´
ı

Trigonometr´ y geometr´ anal´
ıa
ıa
ıtica

Luis Zegarra A.

Las Funciones Trigonom´tricas
e

47

8
cotg α + cotg β = √3
cotg β − cotg α = 2

=⇒ 2(cotg 2 α + cotg 2 β) = 4 +

64
3

cosec2 α − 1 + cosec2 β − 1 = 2 +
cosec2 α + cosec2 β =
ii) 3 cotg(α − β) = 3 ·

32
3

44
3

cotg α cotg β+1
cotg β−cotg α

=3

16
32

=8

7. Demostrar las siguientes identidades
a) sen(75◦ − α) cosec75◦ − cos(75◦ − α)sec75◦ = −4 sen α
sen(45◦ − α) − sen(45◦ + α)
b)
+ sec45◦ tgα = 0
cos(60◦ + α) + cos(60◦ − α)
π
4
3π
+ α + tg 2 α −
=
4
4
1 − sen 2α
π α
π α
tg 2
+
− tg 2
−
= 4 tg α sec α
4
2
4
2
sen3θ + senθ
= 2 cotg θ(1 − cos θ)
1 + 2 cosθ + cos2 θ
α
α
α
α
4 tg α
cotg cotg 3
tg 3 − 3tg...