Topologia Conjuntos y Funciones

Conjuntos, Relaciones y
Funciones
0.1

Conjuntos

El t´ermino conjunto y elemento de un conjunto son t´erminos primitivos y no
definidos. De un punto de vista intuitivo parece ser que cualquier colecci´on de
objetos puede ser considerado un conjunto. Sin embargo esto no es as´ı, ya que
de lo contrario se llega a paradojas. En general podemos decir informalmente
que los conjuntos no pueden ser“demasiado grandes”. (El lector interesado
puede consultar la referencia: Charles C. Pinter, Set Theory, Addison-Wesley,
1971)
De esta manera, siempre supondremos que todos los conjuntos son elementos de un conjunto universal, U . A menudo U no se menciona expl´ıcitamente, tal como ocurre con el dominio de una funci´on proposicional.
Los conjuntos los denotamos por letras may´
usculas:
A, B, C, . . .
ylos elementos por letras min´
usculas
a, b, c, . . . .
“a es un elemento del conjunto A”(o “a es un miembro de A” o “a est´a
en A” o “a pertenece a A”) se denota: a ∈ A.
Si un conjunto no tiene muchos elementos se pueden escribir todos ellos.
Por ejemplo si A es el conjunto con los elementos 1, 2, 3, 4 se indica como:
A = {1, 2, 3, 4}.
1

Otra forma de especificar los elementos de un conjunto esdando una regla.
Por ejemplo:
A = {a : a es un entero y 1 ≤ a ≤ 4}
o
A = {x : (x − 2)(x − 1)(x − 4)(x − 3) = 0}
representan el mismo conjunto.
La notaci´on {a : p(a)} se lee: “El conjunto de todos los a tales que p(a)
es verdadero”. Tambi´en se escribe {a / p(a)}.
Note que el orden en el cual se escriben los elementos de un conjunto no
es importante.

Definici´
on 1 Un conjunto A es igual a unconjunto B, denotado A = B, si
y s´olo si cada elemento de A es un elemento de B y cada elemento de B es
un elemento de A. En simbolos:
(A = B) ←→ [(∀ x , x ∈ A −→ x ∈ B) ∧ (∀ x , x ∈ B −→ x ∈ A)]
o
(A = B) ←→ (∀ x , x ∈ A ←→ x ∈ B).

Ejemplo

{1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {x : 1 ≤ x ≤ 3 y x es un entero }.
2

Los siguientes conjuntos son usualmente empleados en matem´atica:
N = {x : x es un n´
umeroentero x ≥ 1}
= {1, 2, 3, 4, . . .}

(Conjunto de los n´
umeros naturales)

Z = {x : x es un entero }
= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}

(Conjunto de los n´
umeros enteros)

x
: x, y ∈ Z, y = 0}
y
4 3 2 1 0 1
= {. . . , − , − , − , − , , , . . .}
3 2 1 1 2 3

Q = {

(Conjunto de los n´
umeros racionales)

R = {x : x es n´
umero real }.
Definici´
on 2 Sean A, B conjuntos. Se dice que A es unsubconjunto de B
si y s´olo si cada elemento de A es un elemento de B. Se denota por:
A⊆B

o
´

B ⊇ A.

En simbolos:
A ⊆ B ←→ (∀ x , x ∈ A −→ x ∈ B).
Si A no es subconjunto de B, se escribe A

B.

Note que A ⊆ A. Si A ⊆ B pero A = B se dice que A es un subconjunto
propio de B, y se escribe
A⊂B

´o

B ⊃ A.

Si A no es un subconjunto propio de B, se escribe:
A⊂
/ B.
3

Es posible tener un conjunto sinelementos. Por ejemplo, el conjunto de
todos los estudiantes que miden 6 metros. Tal conjunto se llama conjunto
vac´ıo y se denota ∅. En simbolos:
∅ = {x : p(x) ∧ ¬p(x)}
donde p(x) es cualquier funci´on proposicional.
Definici´
on 3 Sean A, B conjuntos. La uni´on de A y B (denotada A ∪ B)
es el conjunto de todos los elementos que est´an en A o en B. En simbolos:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Laintersecci´
on de A y B (denotada A ∩ B) es el conjunto de todos los
elementos que est´an en A y en B. En simbolos:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Si A ∩ B = ∅, se dice que A y B son disjuntos.
El complemento relativo de A en B (o complemento de A con respecto a B),
denotado por B − A (o B

A) es el conjunto de todos los elementos en B

que no est´an en A. En simbolos:
B

A = {x : x ∈ B ∧ x∈/ A}.

Si B esU , el conjunto universal, entonces U

A = {x : x ∈ U ∧ x ∈
/ A} =

{x : x∈/ A} es llamado el complemento de A y se denota Ac (o CU A).
Es u
´til representar la definici´on anterior en t´erminos de Diagramas de Venn:
✤✜
✤✜
A

B

✣✢
✣✢

4

A∩B
✤✜
✤✜
A

B

✣✢
✣✢

A∪B
✤✜
✤✜
B

A

✣✢
✣✢

A

B

An´alogamente se puede representar, por ejemplo, A ∩ (B ∪ C):
★✥
★✥
B

C

★✥
✧✦
✧✦
A

✧✦

Note que un...