Topologia de redes

Capítulo 1

TOPOLOGÍA DE LAS
REDES
1.1.

Introducción al estudio topológico de las redes.

Puesto que las redes de interconexión en una red son independientes del tipo
de elementos que la componen, sólo es necesario el diagrama de conexiones de los
elementos, o topología, de la red para obtener las ecuaciones correspondientes
a las leyes de interconexión.
Para la representaciónmatemática del esquema eléctrico del circuito, y comprender la forma en que se expresan las ecuaciones de Kirchhoff matricialmente,
vamos a ver unas pocas definiciones de teoría de grafos:
1) Grafo: es un conjunto de ramas y nudos que debe cumplir con la
condición de que cada extremo de una rama termine en un nudo.
A continuación se presentan algunos ejemplos de grafos:

1

2

CAPÍTULO 1.TOPOLOGÍA DE LAS REDES

Red R

Grafo de la red

Red R

Grafo

+
−

Figura 1.1: Estudio topológico de las redes (1)

Grafo con un nudo aislado

Grafo con un autobucle

Figura 1.2: Estudio topológico de las redes (2)
2) Grafo de un circuito: llamamos grafo de un circuito al esquema
obtenido reemplazando cada una de las ramas del circuito por una
línea y manteniendo la estructura delas conexiones.

3

CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA DE LAS REDES
L2

L3

R2
N2
N3
C2

N4
R3
R4

R1

C1

L1

G1

R1

R2
R5
N1
GRAFO DEL CIRCUITO

CIRCUITO

Figura 1.3: Estudio topológico de las redes (3)
3) Rama de un grafo: para el análisis que vamos a realizar, consideramos una rama (línea) por cada componente del circuito, aunque
se encuentren en serie.
4) Nudo de ungrafo: llamamos nudo de un grafo a la intersección
de dos o más ramas del grafo.
5) Incidencia: una rama es incidente en un nudo si ese nudo es una
externalidad de la rama considerada.
6) Grado de un nudo: el grado de un nudo será el número de
ramas incidentes en ese nudo.
7) Camino en un grafo: un camino entre dos nudos i y j está
constituido por una sucesión de ramas del grafo, a travésde las
cuales se unen los dos nudos.
8) Malla de un grafo: es un camino del grafo que une un nudo
consigo mismo (para circuitos planos).
9) Árbol de un grafo: es un conjunto de ramas del grafo que
contiene a todos los nudos y no forma ningún bucle. Veamos un
ejemplo:

4

CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA DE LAS REDES

Figura 1.4: Estudio topológico de las redes (4)
10) Eslabones y ramas de árbol:las ramas del grafo que pertenecen al árbol se llaman ramas de árbol, y las restantes son eslabones,
de forma que si se añade un eslabón al árbol se forma una malla.
11) Grafo orientado: un grafo es orientado cuando a cada una de
sus ramas se le atribuye un sentido, elegido de forma arbitraria. Este
sentido representará la corriente de cada rama.
+

-

+

1

+

2

+

3

12

7
5
-

3

+

-

+

-

6
4

Red

4
5

6

Grafo orientado de la red

Figura 1.5: Estudio topológico de las redes (5)

NOMENCLATURA
Se dice, refiriéndonos al ejemplo anterior concretamente, que la
rama 5 incide en los nudos 2 y 5. Sale del nudo 2 y entra al nudo 5.
Si un grafo orientado tiene b ramas y n1 nudos, se define matriz de incidencia nudo-rama [Aa ] como unamatriz con n1 filas y b
columnas, con elementos aij nudos por:
aij = 1, si la rama j sale del nudo i.
aij = −1, si la rama j entra del nudo i.

CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA DE LAS REDES
aij = 0, si la rama j no incide en el nudo i.
De acuerdo a la definición, cada columna [Aa ] tendrá sólo dos
elementos distintos de cero, uno de ellos igual a uno y otro igual a
menos uno.
Para el ejemploanterior en el cual la red tiene siete ramas (b =
7) y seis nudos (n1 = 6), de acuerdo con la numeración de las ramas
en dicho ejemplo, se tiene:


1
0
0
0
0
0
1
 −1 1
0
0
1
0
0 


 0 −1 1
0
0
0
0 

[Aa ] = 
 0
0
0
0
0
1 −1 


 0
0
0
1 −1 −1 0 
0
0 −1 −1 0
0
0
n = 6 nudos y b = 7 ramas
12) Subgrafo: un subgrafo de un grafo debe ser a su vez...