Topologia En R

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TOPOLOGIA EN LA RECTA REAL
INTERVALOS

INTERVALOS INFINITOS

a ;    x  R /   ; a  x  R /

xa xa

a ;    x  R /   ; a  x  R /

xa xa

COTAS Y CONJUNTOS ACOTADOS Sean A  R y a  R .  

a es una COTA SUPERIOR de A si x  A : a  x . a es una COTA INFERIOR de A si x  A : a  x .

Se dice que:   

A está ACOTADO SUPERIORMENTE si a R / a es una cota superior de A . A está ACOTADO INFERIORMENTE si a  R / a es una cota inferior de A . A está ACOTADO si está acotado superior e inferiormente.

Sea A  R .   CONJUNTO MAYORANTE de A es el conjunto de todas las cotas superiores de A . CONJUNTO MINORANTE de A es el conjunto de todas las cotas inferiores de A .

Sea A  R un conjunto acotado superiormente.  Se llama EXTREMOSUPERIOR o SUPREMO de A a la menor de sus cotas superiores y se denota sup A .

Sea A  R un conjunto acotado inferiormente.  Se llama EXTREMO INFERIOR o INFIMO de A a la mayor de sus cotas inferiores y se denota inf  A .

Máximo y Mínimo   Si el supremo pertenece al conjunto A se dice que es el MAXIMO. Si el ínfimo pertenece al conjunto A se dice que es el MINIMO.

Axioma delsupremo “Si A  R es un conjunto acotado superiormente entonces posee supremo.” Axioma del ínfimo “Si A  R es un conjunto acotado inferiormente entonces posee ínfimo.”
Asignatura: Análisis Matemático I - Prof. L. Ignacio Dutra da Silveira 2011

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ENTORNOS  Se llama ENTORNO de un punto a  R a cualquier conjunto de la forma

E (a;  )  a   ; a     x  R / x  a    con   0.
 Sellama ENTORNO REDUCIDO de un punto a  R a cualquier conjunto de la forma

E * (a;  )  a   ; a   a ; a     x  R / 0  x  a    con   0.
El punto a es el centro del entorno y el valor  es el radio. Notemos que en el caso del entorno reducido, se excluye al centro del entorno, es decir, al punto a , pues al exigir 0  x  a equivale a exigir x  a ya que x  a  0  x  a .PUNTO INTERIOR Sean A  R y a  R . 

a es PUNTO INTERIOR de A si existe un entorno de a que está incluido totalmente en A.

Es decir: 

a es PUNTO INTERIOR de A   E(a) / E(a)  A .


El conjunto de todos los puntos interiores de un conjunto A se llama INTERIOR de A: PUNTOS DE ACUMULACION Sean A  R y a  R . 

A.

a es PUNTO DE ACUMULACION de A si cada uno de sus entornos reducidosintersecta a A.

Es decir: 

a es PUNTO DE ACUMULACION de A   E * (a) : E * (a)  A  Ø.

El punto de acumulación es un punto alrededor del cual se acumulan, se concentran, los puntos del conjunto, de forma tal que, por “pequeño” que sea el entorno, siempre los hallaremos en él. El conjunto de todos los puntos de acumulación de un conjunto A se llama ACUMULACION o CONJUNTO DERIVADO de A:A' ..

CONJUNTO ABIERTO Sea A  R .  Es decir: 

A es ABIERTO si todos sus puntos son interiores a él.

A es ABIERTO  a  A : a es interior de A .

Propiedades    La intersección de una cantidad finita de conjuntos abiertos es abierto. La unión de una cantidad cualquiera de conjuntos abiertos es abierto. El interior de un conjunto es abierto. Es el mayor conjunto abiertoincluido en el conjunto. Puede obtenerse como la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en el conjunto.
Asignatura: Análisis Matemático I - Prof. L. Ignacio Dutra da Silveira 2011

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CONJUNTO CERRADO Sea A  R .  Es decir: 

A es CERRADO si contiene a todos sus puntos de acumulación.

A es CERRADO  si a  R es punto de acumulación de A entonces a  A .

Teoremas   “Laintersección de una cantidad cualquiera de conjuntos cerrados es cerrado.” “La unión de una cantidad finita de conjuntos cerrados es cerrado.”

Una propiedad importante nos sirve para saber si un conjunto es abierto o cerrado:   Un conjunto es CERRADO si su complemento es abierto.

Es decir:

A  R es CERRADO  AC es abierto.

De la misma manera:    Un conjunto es ABIERTO si su complemento es...