Topologia general

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José Manuel Dí az Moreno

Seruicio de Publicaciones Uniuersidad de Cádiz

Díaz Moreno, José Manuel Introducción a la topología de los espacios métricos / José Manuel Díaz Moreno. -- Cádiz : Universidad, Servicio de Publicaciones, 1998. -- 200 p. ISBN 84-7786-514-0 l. Espacios métricos. 1. Universidad de Cádiz. Serviciode Publicaciones, ed. 11. Título.
515.124

Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz I.S.B.N.: 84-7786-514-0 Depósito Legal: CA-741/1998 Diseño Cubierta: CREASUR Imprime: Jiménez-Mena, s.1. Polígono Industrial Zona Franca. Cádiz Printed in Spain

PRÓLOGO

Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico fue introducido inicialmente por el matemáticofrancés M. Fréchet en 1906, y más tarde desarrollado por F. Hausdorff en su Mengenlehre. En parte, su importancia radica en que constituye una interesante generalización de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarrollo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de manifiesto suextraordinario poder para unificar una amplia variedad de teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes. Actualmente, todas las obras de topología general dedican algún espacio al tratamiento de los espacios métricos, bien como caso particular de los espacios topológicos, bien como una manera natural de introducirlos. Sin embargo, la teoría de los espacios métricos es el fundamentoindispensable para un estudio serio y riguroso del Análisis Matemático y puede presentarse en forma de una hermosa teoría acabada, muy asequible a la intuición geométrica y poco propensa a presentar fenómenos patológicos, muy al contrario de lo que ocurre con los espacios topológicos, raras veces al alcance de la intuición, llenos de sutilezas axiomáticas y de extraños fenómenos. Todo ello inclina apensar que la teoría de espacios métricos merecería un estudio independiente; sin embargo, existe un sorprendente vacío de obras dedicadas al desarrollo independiente de la topología métrica. Este libro, que tiene su origen en los cursos que sobre la materia el autor explica en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cádiz, recoge los principales conocimientos que es necesario poseer para estaren condiciones de seguir posteriormente un curso de Análisis Funcional elemental. El autor espera además que el lector perciba y disfrute de la belleza matemática que los espacios métricos por sí mismos representan. Los prerrequisitos para asimilar el contenido de este libro son pocos; desde un punto de vista formal, los únicos conocimientos previos que se presuponen son: familiaridad y destrezacon las nociones elementales de la teoría de conjuntos, incluyendo lo relativo al principio de inducción y las nociones básicas sobre numerabilidadj y, muy especialmente, el conocimiento del cuerpo de los números reales, particularmente en lo que se refiere al axioma del supremo y a los resultados básicos sobre valor absoluto y desigualdades. El capítulo Oestá dedicado a recordar las nociones quedeberían conocerse antes de abordar el texto en sí. Finalmente, el último capítulo, requiere conocimientos elementales de álgebra lineal. Con tales requisitos, la experiencia demuestra que el material del presente libro puede adoptarse como texto para un curso semestral de topología métrica destinado a estudiantes de Matemáticas o disciplinas afines. Aunque sería deseable que el lector poseyeracierta madurez matemática lograda después de haber perdido la inocencia matemática, predomina en la obra la idea de introducir la estructura definición-teoremademostración, característica de la matemática contemporánea, tan suavemente como sea posiblej además cada concepto nuevo se acompaña de motivaciones intuitivas, en un lenguaje llano y ordinario (en ocasiones con el riesgo que ello conlleva) y...