Topologia

HISTORIA DE LA TOPOLOGÍA

David Garro Moreno Historia de las matemáticas Universidad Autónoma de Madrid

Introducción:
La topología es la rama de las matemáticas que se ocupa de los objetos geométricos atendiendo a la forma, tamaño o posición, en general a sus propiedades cualitativas. No tiene en cuenta aspectos relativos a magnitudes ni requiere cálculos con cantidades. Así, desde elpunto de vista topológico, una esfera, un cubo o la superficie de una naranja representan el mismo objeto geométrico, no importa si tiene picos o está arrugado. Es decir, podemos pasar de uno a otro de forma continua. Se dice entonces que son espacios homeomorfos, o que existe un homeomorfismo entre ellos. Es popular el dicho de que un topólogo no distingue entre un donut y una taza de café. Como side objetos de goma elástica se tratase, podemos doblarlos, estirarlos o encogerlos para pasar de uno a otro. En cambio, no se permite por ejemplo cortar, pegar por puntos distintos o pinchar, porque ello provocaría una discontinuidad.

En fin, la Topología nos proporciona métodos y herramientas que nos permiten distinguir entre espacios no homeomorfos, se dedica al estudio de aquellaspropiedades que se conservan a través de homeomorfismos. A través de la historia, la topología ha resultado ser de gran importancia mostrándose fundamental para la cimentación del análisis moderno, sus ideas se han mostrado de gran interés para los campos de la ciencia como física, cosmología, relatividad... Podemos situar el comienzo de la topología en 1735 de la mano de Leonhard Euler y la solución alproblema de los puentes de Koenigsberg, que aunque ciertamente parecía pertenecer al geometría, sin embargo no requería la determinación de magnitud alguna, ni podía resolverse por un calculo cuantitativo, aunque en palabras de Euler: “Leibniz fue el primero en tratar de ella, llamándola geometría de la posición”

Vinculada por tanto a la geometría en sus inicios y desarrollada en unaincipiente ebullición de artículos, libros y conferencias, muchos han sido los matemáticos sobresalientes que aportaron resultados cruciales en diversos campos de las matemáticas, dichos resultados proporcionaron el ámbito adecuado para la descripción de las matemáticas en un marco formal y aceptado por toda la comunidad matemática.

La necesidad de exponer con rigor conceptos fundamentales delanálisis tales como función, continuidad, diferenciabilidad, hacían notar el caos en el que se encontraban las matemáticas a finales del siglo XVIII. Las nuevas geometrías no euclídeas y la construcción de nuevos objetos geométricos muy particulares tales como la banda de Möbius (1858) o la botella de Klein (1863), ofrecían ejemplos de propiedades geométricas desconocidas hasta entonces y que distinguíanlos objetos entre sí. Este es el punto de partida del trabajo de clasificación de objetos geométricos atendiendo a ciertas propiedades cualitativas como conexión, compacidad, separabilidad, orientación, etc.....

La teoría más importante de finales del siglo XIX vino de la mano del matemático ruso Georg Cantor (1845-1918). En ella se encontraban las nociones básicas de la teoría de conjuntos.Introdujo conceptos como cardinal, transformación 1-1, punto límite, conjunto abierto, cerrado, derivado....Estos conceptos permitieron situar las matemáticas en el marco adecuado que ofrecían demostraciones rigurosas y nuevas definiciones aceptadas por la mayoría de la comunidad matemática. Ya en las postrimerías del siglo xx, matemáticos como Hilbert, Banach o Haussdördf se apoyaron en lasideas de Cantor para construir nuevos ejemplos de espacios diferentes tales como espacios métricos,completos,normados,espacios de funciones...que permitieron una teoría mucho mas general, proponiendo un sistema axiomático del análisis en términos de conjuntos y no en términos de distancias, métricas o de algún tipo de cantidad o magnitud. De esta manera surgió la definición de espacio topológico,...