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Espacios de Hardy H p para desarrollos de Jacobi

por Eduard Alexander Navas Aponte

Trabajo de Grado presentado como requisito parcial para optar al T´ ıtulo de Magister Scientiarum menci´n Matem´tica o a

Instituto Venezolano de Investigaciones Cientificas I.V.I.C.

Centro de Estudios Avanzados
Caracas

Septiembre, 2005

Resumen del Trabajo de grado presentado para optar al t´ıtulo de Magister Scientiarum ´ ´ Mencion Matematica

Espacios de Hardy para Desarrollos de Jacobi

por Eduard Alexander Navas Aponte

Centro de Estudios Avanzados Instituto Venezolano de Investigaciones Cient´ ıficas i.v.i.c.

Caracas, Septiembre del 2005

Wilfredo Urbina Director del Trabajo Stefania Marcantognini Tutor del Trabajo
En el presente trabajo se estudia la teor´ de espacios deHardy para desarrollos ıa en polinomios de Jacobi basados en el trabajo de Zhonkai Li Hardy spaces for Jacobi expansions([?]). Dicho trabajo es la generalizaci´n para el caso de polio nomios de Jacobi del art´ ıculo de Benjamin Muckenhoupt y Elias Stein Classical expansion and their relation to conjugate harmonic functions([?]) donde se trata el caso de los polinomios ultraesf´ricos o deGegenbauer. En nuestro trabajo se e da nuevas demostraciones a varios resultados de la teor´ y tambi´n se detalıa e lan demostraciones que s´lo est´n esbozadas en el art´ o a ıculo de Li . Adem´s se a analiza lo expuesto por Luis Caffarelli en su tesis doctoral Sobre conjugaci´n y o sumabilidad de series de Jacobi ([?]) en la que la conjugaci´n, que es una de las o nociones claves para la definici´n de losespacios de Hardy, se define como un o operador derivaci´n suavizado. o

´ Indice
Resumen Introducci´n o 1 Propiedades B´sicas de los Polinomios a 1.1 Definici´n . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.2 Propiedades Diferenciales. . . . . . . . 1.3 F´rmula de Rodrigues . . . . . . . . . o 1.4 F´rmula de Recurrencia . . . . . . . . o 1.5 Funci´n Generatriz . . . . . . . . . . . o de . . . . . . . . .. Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 1 3 3 4 9 12 19 23 23 24 25 31 46 51 57 63 81 83

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2 Espacios de Hardy H p para Desarrollos de Jacobi. 2.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2 Convergencia en norma Lp . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2.3 Funci´n Maximal de Hardy-Littlewood. . . . . . . . . . . . . . . o 2.4 Integral de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Principio del M´ximo y Propiedad del valor medio. . . . . . . . . a 2.6 Teorema de caracterizaci´n tipo Fatou para desarrollos de Jacobi. o 2.7 Series de Jacobi conjugadas y la funci´n o conjugada. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Teor´ de espacios H p para los desarrollos de Jacobi. . . . . . . ıa A La funci´n Gamma y funciones relacionadas o

B Sobre el operador Laplaciano

iii

1

Introducci´n o
En el estudio de la Teor´ de Series de Fourier de variable compleja, surge ıa una gran conecci´n entre propiedades de armonicidad en el disco unitario del o plano complejo y elAn´lisis de Fourier a valores de frontera del toro, dando oria gen al concepto de conjugaci´n el cual es muy importante en el An´lisis cl´sico o a a de Fourier. Partiendo de esto la teor´ de Espacios de Hardy en el disco unitario ıa fue desarrollado durante la primera mitad del siglo pasado. B. Muckenhoupt y E. Stein [15] estudiaron la conjugaci´n en el caso de deo sarrollos en polinomiosultraesf´ricos o de Gegenbauer y a partir de all´ desarrole ı laron la teor´ b´sica correspondiente a los espacios H p en este caso. El origen ıa a de su investigaci´n de la conjugagi´n en el caso de desarrollos ultraesf´ricos, est´ o o e a en el estudio de la noci´n de conjugada en el espacio Euclideano n-dimensional, o mediante la generalizaci´n de las ecuaciones de Cauchy-Riemman en el plano, o...