TOPOLOGIA

PRUEBA 1 TOPOLOGIA
Ingenier´ Matem´tica
ıa
a
Primer Semestre 2008
Problema 1. Sea (X, T ) espacio topol´gico Hausdorff y A ⊂ X . Demuestre
o
que x es punto de acumulaci´n de A s´ y solo s´ todavecindad de x contiene
o
ı
ı
infinitos puntos de A .
Soluci´n. Sea x punto de acumulaci´n de A . Supongamos existe V vecindad
o
o
de x tal que V ∩ (A − {x}) = {x1 , · · · , xk } . Como (X, T )es Hausdorff,
para cada i = 1, · · · , k existen abiertos disjuntos Wi y Ui tales que x ∈ Wi
y xi ∈ Ui . Entonces W = V ∩k Wi es una vecindad de x que verifica
i=1
W ∩ (A − {x}) = φ , lo quecontradice el hecho que x es punto de acumulaci´n
o
de A . Luego para toda vecindad V de x tenemos que V ∩ (A − {x}) es un
conjunto infinito, lo que implica que V ∩ A es un conjunto infinito.
Laimplicaci´n en el otro sentido es clara.
o
Problema 2. Sean (X1 , T1 ) , (X2 , T2 ) espacios topol´gicos y f : X1 → X2
o
una aplicaci´n. Muestre que las siguientes propiedades son equivalentes:
o
a) f escontinua.
b) Para todo B ⊂ X2 , se tiene f −1 (B o ) ⊂ (f −1 (B))o .
c) Para todo B ⊂ X2 , se tiene f −1 (B) ⊂ f −1 (B) .
Soluci´n. a) ⇒ b). Como B o es un abierto en X2 y f es continua, tenemos
oque f −1 (B o ) es un abierto de X1 . Tambien
Bo ⊂ B

⇒

f −1 (B o ) ⊂ f −1 (B)

⇒

f −1 (B o ) = (f −1 (B o ))o ⊂ (f −1 (B))o .

b) ⇒ c). Sea x ∈ f −1 (B). Por demostrar x ∈ f −1 (B) , olo que es lo mismo que
f (x) ∈ B .
Sea V vecindad cualquiera de f (x) . Entonces V = V o y
x ∈ f −1 (V ) = f −1 (V o ) ⊂ (f −1 (V ))o .
Luego (f −1 (V ))o es una vecindad de x . Esto implica
φ =(f −1 (V ))o ∩ f −1 (B) ⊂ (f −1 (V )) ∩ f −1 (B)

⇒

V ∩ B = φ.

Por lo tanto f (x) ∈ B , como se queria demostrar.
c) ⇒ a). Sea F un cerrado cualquiera en X2 . Entonces
f −1 (F ) ⊂ f −1 (F )= f −1 (F )

⇒

f −1 (F ) = f −1 (F ) ,

lo que implica que f −1 (F ) es cerrado en X1 . Por lo tanto f es continua.

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Problema 3.

Considere Rω con la topolog´ caja, y sea
ıa
A =...