Topologia

Topología
Se trata de una disciplina que integra geometría, álgebra y análisis de una manera especial, aunque sistemáticamente se considera una parte de la geometría. Sus orígenes están asociados a la obra de Euler, Cantor y Möbius. La palabra topología había sido utilizada en 1874 por J. B. Listings en un libro titulado Vorstudien zur Topologie. Este había sido un alumno de Gauss en el año1834. Usaba el término topología para lo que prefería llamar “geometría de posición”, sin embrago von Staudt usaba este último para la geometría proyectiva.
En la topología suele reconocerse dos ramas: la conjuntista y la algebraico combinatoria. La primera asociada a la teoría de conjuntos y la segunda que considera las figuras geométricas como agregados de bloques más pequeños.
Para algunoshistoriadores de las matemáticas, el punto decisivo fue dado por la publicación de Analisis Situs de Poincaré en 1895. Poincaré realizó importantes contribuciones en la topología combinatoria algebraica. Podemos decir que ésta refiere a propiedades de los invariantes de transformaciones o funciones uno a uno (biunívocas o inyectivas) y además bicontinuas (la función y su inversa son continuas): loshomeomorfismos. Courant y Robbins lo ponen así:
Recordemos que la geometría elemental maneja las magnitudes (longitud, ángulo y área) que son invariantes por movimientos rígidos, mientras que la geometría proyectiva trata de los conceptos (punto, línea, incidencia, razón simple) que son invariantes por el grupo, todavía más extenso, de las transformaciones proyectivas. Pero los movimientos rígidosy las proyecciones son casos muy particulares de las transformaciones topológicas: una transformación topológica de una figura A en otra figura A' está dada por cualquier correspondencia P↔P' entre los puntos p de A y los puntos p' de A', que cumple las dos propiedades siguientes:
La correspondencia es biunívoca. Esto significa que a cada punto p de A corresponde exactamente un punto p' deA', y recíprocramente.
La correspondencia es bicontinua. Esto significa que si tomamos dos puntos p y q cualesquiera de A, y movemos p de manera que su distancia a p' de a q tienda a cero, entonces la distancia entre los correspondientes puntos p' de q' de A' también tiende a cero, y recíprocamente.
Cualquier propiedad de una figura geométrica A, que se mantenga para todas las figuras en que setransforma A mediante una transformación topológica, se llama una propiedad topológica de A. Y la topología es la rama de la geometría que sólo estudia las propiedades topológicas de las figuras. Imaginen una figura copiada a “mano alzada” por un dibujante consciente pero inexperto, que curvara las líneas rectas y alterara los ángulos, las distancias y las áreas; entonces aunque se habrían perdidolas propiedades métricas y proyectivas de la figura primitiva, las propiedades topológicas quedarían iguales. [Courant, R. y Robbins, H.: “Topología” p.177]
La topología trabaja esencialmente con los aspectos cualitativos. Sin embrago, el asunto sobre los inicios de la topología debe colocarse en una perspectiva histórica más amplia.

Se puede rastrear el asunto hasta Leibniz que estudió laoperación o transformación de algunas propiedades de figuras geométricas, asunto que llamó precisamente análisis situs o geometría situs.
Otra referencia tiene que ver con la relación que existe entre el número vértices, bordes y caras de poliedros convexos cerrados. En un cubo, la relación es V-B+C=2, lo que había sido publicado y demostrado por Euler en los años 1750-1751 (se supone sin embargoque esto era conocido por Leibniz y Descartes).
Un asunto de carácter topológico fue el problema del puente de Koenigsberg, para el que Euler encontró una solución en el año 1735.
Listing trató de generalizar la relación V-B+C=2.
Möbius, quien fuera asistente de Gauss, clasificó las propiedades geométricas de similaridad, afinidad y congruencia y propuso el estudio de las relaciones entre...