topologia


Taller de Talento Matemático
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La Topología I


(21 de Abril de 2006)

Álvaro Rodés

Departamento de Matemáticas – Universidad de Zaragoza

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0.- Prólogo
Según una leyenda, la fundación de Cartago fue obra de un grupo de fugitivos de la ciudad fenicia de Tiro, que hacia el siglo IX a.C. alcanzaron la entonces floreciente ciudad de Cambé ysolicitaron al rey libio–fenicio Yarba autorización para establecerse allí. Contestó éste accediendo a concederles la extensión de terreno que pudiera abarcar una piel de buey. Entonces Dido, reina de los fugitivos, ordenó partir la piel de buey en estrechas tiras que unió para formar un largo cordón y con éste puedo acotar una extensión de terreno suficiente para formar la colonia.
Ningúnmatemático griego pensó en sacar más partido de este problema. Para nuestro tiempo es natural pensar qué hubiera ocurrido si llamándose a engaño el rey Yarba hubiera exigido como condición suplementaria que la piel no hubiese quedado “desconexa”, esto es, prohibir toda posibilidad de coser o anudar lo rasgado. ¿Podría en estas condiciones acotarse un terreno de consideración? La respuesta es afirmativa,y a ella se llega teóricamente por deducciones topológicas.


A un ocioso de una ciudad alemana, Königsberg, se le ocurrió un día una extraña pregunta inútil, cuyo único interés parecía estar basado en lo difícil que parecía contestarla: ¿podría planear un paseo que cruzase los siete puentes sobre el río Pregel, que unían las diversas zonas de la ciudad y la isla situada en medio? La preguntacorrió de boca en boca y de cabeza en cabeza sin respuesta, hasta que vino a posarse sobre la de Euler. Allí anidó y después de un período de incubación dio nacimiento a una de las ramas importantes de la matemática, la Topología.

En http://enciclopedia.us.es/index.php/ encontramos la siguiente definición y unas primeras aplicaciones de la Topología.



1.-¿Qué es la Topología?
Ramade las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras geométricas o los espacios que no se ven alteradas por transformaciones continuas, biyectivas y de inversa continua (homeomorfismos). Es decir, la topología es un tipo de geometría donde está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer... los objetos pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido (la transformacióndebe ser continua) ni pegar lo que estaba separado (la inversa también debe ser continua).


2.- Algo de Topología
Por ejemplo, en topología un círculo es lo mismo que un cuadrado, ya que podemos transformar uno en otro de forma continua, sin romper ni pegar.


Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento (ya que habría que partirla por algún punto). Un chiste habitual entre lostopólogos (los matemáticos que se dedican a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla»:



3.- ¿Servirá para algo?
Pocos de los conceptos habituales de la geometría, como ángulo, línea recta, área, ... tienen sentido en topología. Entonces ¿para qué sirve la topología? Observemos la siguiente imagen:



Es un trozo de plano delmetro de Madrid. Aquí están representadas las estaciones y las líneas de metro que las unen. Pero no es geométricamente exacto. La curvatura de las líneas de metro no coincide, ni su longitud a escala, ni la posición relativa de las estaciones... Pero aun así es un plano perfectamente útil (de hecho, si fuera exacto sería bastante más difícil de utilizar). Sin embargo este plano es exacto en ciertosentido; representa fielmente cierto tipo de información, la única que necesitamos para decidir nuestro camino por la red de metro: información topológica.

4.- Unos problemas topológicos
Teorema de la esfera peluda: No existe un campo de vectores continuo sobre la esfera que sea no nulo en todos los puntos.
O, expresado más llanamente (y de ahí el nombre): Imaginemos una esfera cubierta de...