Topologia

Problemas

de

TOPOLOG´ I IA

Hoja 5

Curso 2003/2004

1. Usando la definici´n, estudiar si los siguientes conjuntos son compactos en los o espacios que se indican (i) (ii) (iii) (iv)
1 {(−1)n + n : n ∈ N \ {0}} ⊂ R con la topolog´ usual. ıa Q ⊂ R con la topolog´ usual. ıa [0, 1) ⊂ R con la topolog´ del l´ ıa ımite inferior. 2 [0, 1] × {3} ⊂ R con el orden lexicogr´fico. a

2. Si A ⊂ Xes un conjunto finito de puntos, ¿es compacto cualquiera que sea la topolog´ en X? ıa 3. Si un espacio es compacto con cierta topolog´ ¿lo es necesariamente con una ıa, menos fina? ¿y con una m´s fina? a 4. Sea A ⊂ X y supongamos que la topolog´ heredada por A es la discreta. Dar ıa una condici´n necesaria y suficiente sencilla para la compacidad de A. o 5. Definir una topolog´ diferente de latrivial, en R2 de forma que sea un espacio ıa, topol´gico compacto. o 6. Probar las siguientes afirmaciones o bien dar un contraejemplo. (i) La uni´n finita de compactos es compacta. o (ii) La uni´n de una familia cualquiera de compactos es compacta. o (iii) La intersecci´n de una familia cualquiera de compactos es compacta. o Sugerencia: considerar en [0, 1] la topolog´ cuya base es B = {(a, b) : 0 < ıa a< b < 1} ∪ {(0, 1]} ∪ {[0, 1)}. (iv) La intersecci´n de una familia cualquiera de compactos en un espacio de o Hausdorff es compacto. 7. Dar un ejemplo de una topolog´ en la que exista un conjunto compacto que ıa no sea cerrado. 8. Probar que si X es compacto y x es el unico punto de acumulaci´n de la ´ o sucesi´n {xn } entonces xn converge a x. ¿Es cierto que toda sucesi´n y sus puntos o o deacumulaci´n forman un conjunto compacto? Probar, por ultimo, que todo espacio o ´ compacto infinito contiene un subconjunto numerable no cerrado.
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9. Probar que existe un recubrimiento de [0, 1] por intervalos cerrados que no admite ning´n subrecubrimiento finito. u 10. Decir cu´les son los subconjuntos compactos en R con la topolog´ cofinita, a ıa con la topolog´ de los complementosnumerables y, finalmente, con la topolog´ ıa ıa discreta. 11. Probar que si X es un espacio compacto y A ⊂ X entonces A es compacto. Demu´strese tambi´n que B = {{0, n} : n ∈ Z} es base para una topolog´ sobre Z e e ıa en la que A = {0} es compacto pero A no lo es. ¿Contradice esto lo anterior? 12. Sea X un espacio compacto y C una familia de funciones continuas de X en [0, 1] tales que f, g ∈ C ⇒ f g ∈ Cy para cada x ∈ X existe f ∈ C y un entorno U(x) con f (U(x)) = 0. Probar que C contiene a la funci´n nula. o 12+1. Demostrar que si f : X → Y es continua, Y es Hausdorff y X es compacto, entonces f es cerrada (aplica cerrados en cerrados). Deducir que si f es adem´s una a biyecci´n entonces es un homeomorfismo. o 14. En R se considera la topolog´ T generada por {(a, b) : a < b} ∪ {(a, b) ∩ Q : ıa a< b}. Probar que el intervalo [0, 1] no es compacto en (R, T ). 15. Demostrar que los conjuntos compactos en la recta de Sorgenfrey (R, T[ ) ) son necesariamente numerables. Sugerencia: Usar el hecho de que en un conjunto no numerable hay siempre una sucesi´n estrictamente creciente. o 16. Sea X un espacio de Hausdorff y sean K1 , K2 ⊂ X dos compactos disjuntos. Probar que existen abiertosdisjuntos U1 , U2 con K1 ⊂ U1 y K2 ⊂ U2 . 17. Si (X, d) es un espacio m´trico compacto, probar que la funci´n distancia e o est´ acotada.. Sugerencia: Es continua por el problema 9 de la Hoja 1. a 18. Sea (X, T ) un espacio compacto y F una familia de funciones continuas de X en R+ . Supongamos que F verifica (i) Si f, g ∈ F entonces existe h ∈ F con h ≤ min(f, g). (ii) Para todo x ∈ X, inf{f (x) : f ∈ F}= 0. Demostrar que para todo ε > 0, existe f ∈ F tal que f (x) < ε para todo x ∈ X.

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19. Sean X1 = {x2 + y 2 < 1}, X2 = {x2 + y 2 ≤ 1}. Demostrar que X1 es homeomorfo a R2 y que X1 y X2 no son homeomorfos. 20. Sea (X, d) un espacio m´trico y K ⊂ X un conjunto compacto. Demostrar e que la funci´n d(x, K) = inf {d(x, y) : y ∈ K} es continua y que para cada x ∈ X o existe y ∈ K tal que...