topologia

Parcial Domiciliario de Topología


Continuidad en espacios métricos

5. Si f: ℝ→ℝ es continua en todos los puntos del intervalo [a,b] y f (a) < 0 < f (b) ; entonces existe p ∊ [a,b] / f(p) = 0. Este es en famoso Teorema de Bolsano, demostrarlo.

Para demostrar lo anterior, partiremos del absurdo, es decir, considerando que existe
p ∊ [a,b] / f (p) ≠ 0. Correspondiendo a esto, serealizara un gráfico de la función f para tener una imagen ilustrativa que ayude con el análisis de la función, teniendo en cuenta que se analizara considerando la distancia usual tanto en el dominiocomo en el codominio.

Siempre se tiene en cuenta que:
f (x) es continua en el intervalo [a,b]
f (a) < 0
f (b) > 0

Por lo tanto, según estos datos dados como hipótesis, podemos obtener elsiguiente gráfico:




Como tenemos que analizar la continuidad de la función en el punto p, tendremos en cuenta la definición de continuidad en espacios métricos, que dice:

“f (x) es continuaen x = a ⇔ ∀ Ɛ>0 : Ǝ δ>0/ f (β(a;δ)) ⊆ β(f (a);Ɛ)”

Luego de esto, consideramos un Ɛ > 0, elegido convenientemente, para poder formar una bola en el codominio con centro f (p) y radio Ɛ -β (f(p);Ɛ)- , y para dicho épsilon tomo un δ > 0, con el cual en el dominio formo otra bola con centro p y radio δ –β (p;δ)-



A dicha bola formada en el dominio le aplico la función f (x) y observoque ésta no queda completamente contenida en la bola formada en el codominio. Por lo tanto como no todos los elementos de β (p;δ) tienen su imagen contenida dentro de β (f (p);Ɛ), la función no escontinua, siendo f (p) ≠ 0.



Siendo así, podemos considerar que cuando f (p) = 0, tengo el siguiente grafico:




Donde al seleccionar convenientemente un Ɛ > 0, y con él formar una bola en elcodominio donde β (f (p);Ɛ), a tal épsilon le corresponda un δ >0 con el cual formo otra bola en el dominio tal que β (p;δ); y al aplicarle la función f (x) a esta última se observa que queda...