topologia

Para otros usos de este término, véase Topología (desambiguación).


Ilustración del Teorema de los cuatro colores.
La Topología (del griego τόπος, “lugar”, y λόγος, “estudio”) es la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas.1 Es una disciplina que estudia las propiedades de losespacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera.
Los matemáticos usan la palabra topología con dos sentidos: informalmente esel sentido arriba especificado, y de manera formal se refieren a una cierta familia de subconjuntos de un conjunto dado, familia que cumple unas reglas sobre la unión y la intersección. Este segundo sentido puede verse desarrollado en el artículo espacio topológico.
Índice [ocultar]
1 Idea intuitiva
1.1 Un ejemplo clarificador
2 Historia de la Topología
3 Desarrollo formal
4 Ramas de laTopología
5 Topología General o Conjuntista
5.1 Conceptos fundamentales referidos a la topología de un conjunto
5.1.1 Topología, espacio topológico, abiertos, cerrados, subespacios
5.1.2 Base de una topología, entornos, bases locales, axiomas de numerabilidad
5.1.3 Subconjuntos notables asociados a un conjunto
5.1.3.1 Interior, exterior, frontera
5.1.3.2 Adherencia, acumulación, puntosaislados
5.2 Conceptos fundamentales referidos a aplicaciones continuas y convergencia
5.2.1 Convergencia
5.2.2 Convergencia de sucesiones
5.2.3 Continuidad de aplicaciones
5.3 Conjuntos conexos, conexos por caminos y arco-conexos
5.4 Compacidad
5.5 Metrización
5.6 Separación
5.7 Densidad
5.8 Topología producto y Topología cociente
6 Topología Algebraica
7 Notas
8 Véase también
9 Enlacesexternos
Idea intuitiva[editar · editar código]

Particularmente se presenta a la Topología como la "Geometría de la página de goma (chicle)". Esto hace referencia a que en la Geometría euclídea dos objetos serán equivalentes mientras podamos transformar uno en otro mediante isometrías (rotaciones, traslaciones, reflexiones, etc), es decir, mediante transformaciones que conservan las medidas deángulo, longitud, área, volumen y otras.
En topología, dos objetos son equivalentes en un sentido mucho más amplio. Han de tener el mismo número de trozos, huecos, intersecciones, etc. En topología está permitido doblar, estirar, encoger, retorcer, etc., los objetos, pero siempre que se haga sin romper ni separar lo que estaba unido, ni pegar lo que estaba separado. Por ejemplo, un triángulo estopológicamente lo mismo que una circunferencia, ya que podemos transformar uno en otra de forma continua, sin romper ni pegar. Pero una circunferencia no es lo mismo que un segmento, ya que habría que partirla (o pegarla) por algún punto.
Ésta es la razón de que se la llame la "Geometría de la página de goma", porque es como si estuviéramos estudiando Geometría sobre un papel de goma que pudieracontraerse, estirarse, etc.


Una taza transformándose en una rosquilla (toro).
Un chiste habitual entre los topólogos (los matemáticos que se dedican a la topología) es que «un topólogo es una persona incapaz de distinguir una taza de una rosquilla». Pero esta visión, aunque muy intuitiva e ingeniosa, es sesgada y parcial. Por un lado, puede llevar a pensar que la topología trata sólo deobjetos y conceptos geométricos, siendo más bien al contrario, es la geometría la que trata con un cierto tipo de objetos topológicos. Por otro lado, en muchos casos es imposible dar una imagen o interpretación intuitiva de problemas topológicos o incluso de algunos conceptos. El intentar visualizar los conceptos es un error frecuente entre los principiantes en la topología (cita requerida), que...