TOPOLOGIA

TOPOLOGIA

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CHAPTER 1

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ESPACIOS TOPOLOGICOS
1. Definici´n y Ejemplos
o
Los espacios topol´gicos son la base, entre otras cosas, de la estructura matem´tica
o
a
que le dar´ forma a los conjuntos. Como veremos en esta secci´n, basicamente dos
a
o
espacios topologicos son los mismos (homeomorficos), si se puede moldear uno de
ellos en plastilina y transformar este hasta llegaral otro sin romper la plastilina,
sin hacerle agujeros. Por ejemplo, un vaso para tomar agua y una pelota, ser´
ıan
los mismos desde el punto de vista de la topolog´ as´ mismo, una taza con una
ıa, ı
aza es equivalente a una dona, etc. Estos espacios han adquirido importancia en
varias ramas de la f´
ısica y la ingenier´ para poder hacer modelos. Por ejemplo, en
ıa
la ingenier´ lasim´genes que se obtienen en la computadora son dijitales, estan
ıa,
a
hechas por pixeles discontinuos. En este caso, resulta muy inexacto para algunas
aplicaciones tomar el espacio m´trico correspondiente. En la actualidad existen
e
varios modelos topol´gicos que prometen ser m´s eficientes. En f´
o
a
ısica, los campos
estan cuantizados, el campo gravitacional es el espacio tiempo mismo, si ´steest´
e
a
cuantizado, no pude ser metrizable y por tanto no hay una m´trica que lo repree
sente, el campo gravitacional vive entonces en espacios que no pueden ser modelados
por espacios m´tricos simples. Los espacios topol´gicos podr´ ser m´s exactos
e
o
ıan
a
en modelar espacios cuantizados o los espacios cu´nticos mismos. La geometr´
a
ıa
diferencial es una herramienta que seutiliza hoy en d´ intensivamente en varias
ıa
ramas de la ciencia. El control autom´tico necesita de esta herramienta en gran
a
medida. En este cap´
ıtulo veremos tanto la topolog´ como la geometr´ diferencial.
ıa
ıa
Iniciemos con la definici´n de espacio topol´gico.
o
o
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Definicion 1. Sea X conjunto y τX ⊂ P (X) subconjunto del conjunto potencia P (X) . Un espacio topol´gico es el par (X,τX ) , tal que: φ y X pertenecen a
o
τX y τX es cerrado bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas.
Vamos a entender esta definici´n. Explicitamente, un espacio topol´gico es un
o
o
subconjunto del conjunto potencia que cumple con los siguientes axiomas:
i) φ, X ∈ τX es decir, el vacio y todo el conjunto siempre est´n en la topolog´
a
ıa
τX de X.
ii) Si Uα ∈ τX con α ∈ J (J unconjunto de ´
ındices) entonces ∪ Uα ∈ τX , es
α∈J

decir, la union arbitraria de elementos de τX es un elemento de τX .
iii) Ui ∈ τX con i = 1, · · · , n implica que ∩n Ui ∈ τX , es decir, la intersecci´n
o
i=1
finita de elementos de τX es un elemento de τX .
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Notacion 1. A los elementos de τX se les llama abiertos, a sus complementos
cerrados y a τX se le llama topolog´ sobre X.
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1. ESPACIOS TOPOLOGICOS

Comentario 1. Noten que tanto el conjungo vacio φ como todo el conjunto X
son abiertos y cerrados a la vez, ya que φc = X y X c = φ. Esta es una propiedad
de todos los espacios topol´gicos.
o
M´s adelante veremos algunos ejemplos de espacios topol´gicos para ser m´s
a
o
a
explicitos, pero por ahora vamos a definir algunos conceptos que nos van a servirdurante nuestra discusi´n.
o
´
Definicion 2. Sea (X, τX ) espacio topol´gico, U ∈ τX y x ∈ U . Se dice
o
entonces que U es una vecindad de x, se denota x ∈ Ux . Un entorno de x ∈ X
es un sobconjunto N ⊂ X, tal que x ∈ N y existe Ux ⊂ N , vean la figura 1.
Es decir, una vecindad de alg´ n punto es siempre un abierto que contiene
u
al punto, mientras el entorno es un conjunto m´s grande quealg´ n abierto, que
a
u
contiene al punto, pero no es un abierto ´l mismo.
e

Figure 1. Ux es una vecindad de x, es decir, es un abierto que
contiene a x. Un entorno de x, en cambio, es un sobconjunto de
X tal que x esta en N y N contiene a una vecindad de x.
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Definicion 3. Sea (X, τX ) espacio topol´gico. Una cubierta de A ⊂ X, es
o
una familia de abiertos U = {Uα }α∈K tal que ∪ Uα...