Topologia

Cap´tulo
ı

2

Breves nociones de Topolog´a en I y C
ı
R

Introducci´n
o
En este cap´
ıtulo definimos algunos conceptos relacionados con la Topolog´ ciencia
ıa,
que permite clasificar los puntos de un conjunto. Nos restringimos a los espacios m´tricos.
e
Despu´s de definir bola, que en el caso de los n´meros reales es un intervalo, y entorno, cone
u
junto que contiene a una bola,pasamos a definir los conceptos de punto interior, exterior,
frontera, de acumulaci´n, adherente y aislado.
o
Aunque damos las definiciones en cualquier espacio m´trico, en los ejemplos y aplie
caciones nos restringiremos a los n´meros reales I o complejos C . Los conjuntos I n se
u
R
I
R
tratan en el volumen C´lculo II [35] en el que se estudian las funciones de varias variaa
bles. Poresta raz´n no definiremos rigurosamente conjunto compacto dando solamente
o
su caracterizaci´n en I . Tampoco definimos conjunto conexo al adquirir esta definici´n
o
R
o
verdadero sentido al trabajar en conjuntos de I n , n ≥ 2.
R

1. Espacios m´tricos. Definiciones generales
e
1.1. Definici´n. Distancia
o
Dado un conjunto E , una distancia, o m´trica, en E es una aplicaci´n
e
o
d : E ×E −→ I + ∪{0}
R
que verifica
i) d(x, y ) = 0 ⇐⇒ x = y ∀x, y ∈ E .
ii) d(x, y ) = d(y, x) ∀x, y ∈ E (Propiedad sim´trica).
e
iii) d(x, z ) ≤ d(x, y ) + d(y, z ) ∀x, y, z ∈ E (Desigualdad triangular).
Ejemplos:
1) En el conjunto de los n´meros reales I , d(x, y ) = |x − y | (x, y ∈ I ) es una distancia.
u
R
R
2) En I n son distancias:
R
d2 (x, y ) =

2

2

2

( x1 − y 1 ) + (x 2 − y 2 ) + · · · + ( x n − y n )

d1 (x, y ) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + · · · + |xn − yn |
d∞ (x, y ) = max{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |, . . . , |xn − yn |}
siendo x = (x1 , x2 , . . . , xn ) e y = (y1 , y2 , . . . , yn ).

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Cap´
ıtulo 2. Breves nociones de Topolog´ en I y C
ıa
RI

Notas:
1) La distancia definida en el ejemplo 1) es la distancia usual en I . Si no se dice nada
Ren contra, a I se le supondr´ siempre dotado de esta distancia.
R
a
2) Para n = 1 las tres distancias definidas en el ejemplo 2) coinciden con la usual en I .
R
De ellas, la que m´s responde a la idea geom´trica de distancia es d2 , que se denomina
a
e
distancia “eucl´
ıdea”.
3) En el problema resuelto 1 se analiza una distancia en el conjunto de los n´meros
u
I
complejos C .
1.2.Definici´n. Espacio m´trico
o
e
Se llama espacio m´trico a un par (E, d) siendo E un conjunto y d una distancia
e
definida en E .
Nota: Un espacio m´trico consta de un conjunto soporte E y una distancia d. Cambiando
e
cualquiera de ellos cambia el espacio m´trico.
e
1.3. Definici´n. Bola abierta
o
u
Dado un espacio m´trico (E, d), un punto x0 ∈ E y un n´mero real r > 0, se define
e
labola abierta de centro x0 y radio r , denot´ndose por B (x0 , r), como el conjunto
a
B (x0 , r) = {x ∈ E / d(x, x0 ) < r}
Ejemplo: En I con la distancia usual B (x0 , r) = {x ∈ I / |x − x0 | < r} coincide con el
R
R
intervalo (x0 − r, x0 + r ).
As´ B (1, 2) = {x ∈ I / |x − 1| < 2} = (−1, 3).
ı,
R
Nota: En el problema resuelto 2 se hallan bolas abiertas en I 2 para las distancias d2 y
Rd∞ .
1.4. Definici´n. Entorno
o
Dado un espacio m´trico (E, d) y un punto x0 ∈ E , un subconjunto A ⊂ E es entorno
e
de x0 si existe una bola abierta de centro x0 totalmente contenida en A.
Nota: En la pr´ctica se suele trabajar con bolas, en I intervalos, ya que todo entorno
a
R
contiene alguna bola.
1.5. Definici´n. Bola cerrada
o
Dado un espacio m´trico (E, d) y un punto x0 ∈ E , labola cerrada de centro x0 y
e
radio un n´mero real r > 0, denotada por B (x0 , r), es el conjunto
u
B (x0 , r) = {x ∈ E / d(x, x0 ) ≤ r }
Ejemplo: En I con la distancia usual, B (x0 , r) = {x ∈ I / |x − x0 | ≤ r } = [x0 − r, x0 + r ],
R
R
es decir las bolas cerradas son intervalos cerrados.

Clasificaci´n de los puntos de un conjunto
o

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1.6. Definici´n. Bola abierta y entorno...