Topologia

UNIVERSIDAD DEL BÍO-BÍO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Jorge A. Garfias Meza / jg

ez
a

Segundo Semestre del 2014 /jg

TOPOLOGIA - VECTORES - FUNCIONES

sM

(Métrica en Rn )

Demostraciones Topológicas

b) Int(A) ⊂ A,

∀A

Ga
rfi
a

a) Ext(A) = Int(Rn − A)

c) Si B ⊂ A entonces Int(B) ⊂ Int(A)
d ) Int(A) ∪ Int(B) ⊂ Int(A ∪ B)
e) Int(A ∩ B) = Int(A)∩ Int(B)

f ) Si A ⊂ B entonces Ext(B) ⊂ Ext(A)
g) Ext(A ∪ B) = Ext(A) ∩ Ext(B)

2. Considere las funciones

és

h) Ext(A) ∪ Ext(B) ⊂ Ext(A ∩ B)

d2 : R × R → R

nd
r

n
d1 : Rn ×
{R → R
1 ⃗u =
̸ ⃗v
d1 (⃗u, ⃗v ) =
0 ⃗u = ⃗v

d3 : Rn × Rn → R

d2 (u, v) = |u − v| d3 (⃗u, ⃗v ) = maxi=1,2,3··· ,n {|ui − vi |}

eA

Muestre que son distancias en los respectivos conjuntos.3. Demuestre las siguientes proposiciones:
a) ∀ ⃗u, ⃗v ∈ Rn se tiene

| ||⃗u|| − ||⃗v || | ≤ ∥⃗u − ⃗v ∥

b) ∀ ⃗u, ⃗v ∈ Rn se tiene ∥⃗u∥2 + ∥⃗v ∥2 = 12 (∥⃗u + ⃗v ∥2 + ∥⃗u − ⃗v ∥2 )

Jo
rg

Departamento de Matemática - Universidad del Bío-Bío - 2014

1. Demuestre las siguientes proposiciones, considerando Ext(A):= Exterior de A, Int(A):=
Interior de A , A y B conjuntos.

c) Mostrar quesi el punto x ∈ Rn está en la frontera de un conjunto pero no en el
conjunto, entonces es de acumulación para el conjunto, esto es, "Si x ∈ F ron(A) − A
entonces x ∈ A′ ".

d ) Mostrar que todo abierto incluido en un conjunto está incluido en el interior del
conjunto, esto es, ∀A, U ⊂ Rn , U ⊂ A con U abierto, entonces U ⊆ Int(A).

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4. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es cierta?. Dar contraejemplos para mostrar lo contrario.
a) Todo punto de acumulación es punto adherente
c) Todo punto interior es de frontera
d ) Todo punto frontera es de acumulación
5. Pruebe por medio de vectores el teorema de Pitágoras.

sM

b) Todopunto adherente es de acumulación

Ga
rfi
a

6. Demuestre que las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí.
Vectores

1. Dados los vectores, ⃗u = [2, 1, −1] y ⃗v = [1, 4, −2]. Calcular:
a) ∥⃗u∥max , ∥⃗u∥1 , ∥⃗u∥.
b) ∥⃗u − ⃗v ∥ , ∥⃗u × ⃗v ∥.
c) El ángulo entre ellos.

és

d ) Expresar el vector ⃗u como la suma de un vector paralelo al vector ⃗v y un vector
ortogonal a ⃗v .nd
r

2. Sean ⃗u y ⃗v dos vectores unitarios de R3 . Demostrar que ⃗u + ⃗v es un vector unitario si y
solo si el ángulo formado por ellos es 1200 .
3. Si el ángulo que forman los vectores ⃗u y ⃗v es de 450 y ∥⃗u∥ = 3, hallar la magnitud de ⃗v
para que ⃗u + ⃗v forme con ⃗u un ángulo de 300 .

eA

4. Si ⃗u = [1, 3, 2], ⃗v = [1, −1, 3] y w
⃗ = [2, 3, −4]. Se pide:
a) Hallar el áreadel paralelogramo determinado por ⃗u y ⃗v .
b) Hallar el área del triángulo determinado por ⃗u y w.
⃗

Jo
rg

c) Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por ⃗u , ⃗v y w
⃗

5. Demostrar que los puntos A = (2, 0, −1) , B = (1, 2, 1) y C = (6, −1, 2) son los vértices de
un triángulo rectángulo. Hallar el área y el perímetro del triángulo.
6. El vector ⃗v = [−2, 2, 6] es el vectorde posición del segmento AB , cuyo punto medio es
M = (−4, 3, 1). Hallar las coordenadas de los extremos del segmento AB.
7. Si ⃗u + ⃗v + w
⃗ = Θ, ∥⃗u∥ = 3, ∥⃗v ∥ = 1 y ∥w∥
⃗ = 6. Hallar el valor de ⃗u · (2⃗v − w)
⃗
8. Dados: ∥⃗u∥ = 11, ∥⃗v ∥ = 23 , ∥⃗u − ⃗v ∥ = 30. Hallar el valor de ∥⃗u + ⃗v ∥.
9. Hallar todos los vectores que son perpendiculares a cada uno de los vectores ⃗u = [1, 3, −2]y ⃗v = [2, −4, 1].

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10. Si ⃗u = [2, 3, 1] y ⃗v = [2, 1, −3], calcular la proyección del vector ⃗a = 3⃗u − 2⃗v sobre el vector
⃗b = ⃗v − 3⃗u.

sM

11. Hallar el área del paralelógramo que tiene como diagonales los vectores ⃗u = [5, −7, 4]...