topología

58

Cap´tulo 7
ı

Espacios compactos
7.1 Espacios compactos
Definici´ n 7.1.1 (Recubrimiento). Sea X un conjunto y sea S ⊂ X. Un recubrimiento de S es
o
una familia A = {Ai }i∈I de subconjuntos de X tales que S = ∪i∈I Ai . Un subrecubrimiento
es una subfamilia B ⊂ A que es tambi´ n un recubrimiento de S. Un recubrimiento se dice que
e
es finito si est´ formado por una cantidad finitade conjuntos. En el caso de que (X, τ ) sea un
a
espacio topol´ gico, S ⊂ X y A = {Ai }i∈I sea un recubrimiento de S tal que cada Ai sea un
o
abierto de (X, τ ), se dice que A es un recubrimiento abierto de S.
Ejemplo 7.1.2.
Sea X = R, entonces la familia A = {[−n, n]}∞ es claramente un recubrimiento de S = R,
n=1
pero no es un recubrimiento abierto en la topolog´a usual. Un ejemplo de unsubrecubrimiento de
ı
∞ . La familia {(−n, n)}∞ tambi´ n es un recubrimiento abierto de
A ser´a: D = {[−2n, 2n]}n=1
ı
e
n=1
R, pero no es un subcubrimiento de A.
Definici´ n 7.1.3 (Espacio compacto). Diremos que un espacio topol´ gico (X, τ ) es compacto si
o
o
todo recubrimiento abierto de X admite un subrecubrimiento finito.
Ejemplo 7.1.4.
(1) El espacio (R, τu ) no es compacto.
(2)En cambio (R, τcf ) s´ que lo es.
ı
(3) Si X es un conjunto finito (X, τ ) es siempre compacto.
(4) (X, τT ) siempre es compacto.
(5) Si X es un conjunto infinito (X, τD ) no es compacto.
59

´
CAPITULO 7. ESPACIOS COMPACTOS

60

7.2 Subconjuntos compactos
Definici´ n 7.2.1 (Subconjunto compacto). Sea (X, τ ) un espacio topol´ gico y K ⊂ X un subo
o
conjunto. Diremos que K es unconjunto compacto en (X, τ ) si (K, τK ), con la topolog´a relativa,
ı
es un espacio compacto. En este caso se dice que (K, τK ) es un subespacio compacto.
Proposici´ n 7.2.2. Sea K un subespacio de un espacio topol´ gico (X, τ ). Entonces K es como
o
pacto si y s´ lo si para toda familia {Ai }i∈I de abiertos en X tal que K ⊂ ∪i∈I Ai , existe una
o
subfamilia finita {Ai }n tal que K ⊂ ∪n Ai .i=1
i=1
Demostraci´ n. o
⇒ Supongamos que K es compacto y sea K ⊂ ∪i∈I Ai , donde {Ai }i∈I es una familia de abiertos
de (X, τ ). Entonces, seg´ n la definici´ n de topolog´a relativa, {Ai ∩ K}i∈I es un recubrimiento
u
o
ı
de K por abiertos de (K, τK ), que es compacto, por lo que existen abiertos Ai1 , ..., Ain tales que
K = (Ai1 ∩ K) ∪ ... ∪ (Ain ∩ K)
De aqu´ se deduce que K ⊂ Ai1 ∪... ∪ Ain .
ı
⇐ Supongamos ahora que de todo recubrimiento de K por abiertos de (X, τ ) se puede extraer
un subrecubrimiento finito y veamos que K es compacto. Para ello, sea {Ai }i∈I una familia de
abiertos de (K, τK ) que recubren K. Entonces, cada abierto Ai se puede escribir de la forma
Ai = Bi ∩ K, donde Bi es un abierto en (X, τ ) y as´ se tiene que K ⊂ ∪i∈I Bi . Por hip´ tesis,
ı
oexistir´ n Bi1 , ..., Bin tales que K ⊂ Bi1 ∪ ... ∪ Bin de forma que
a
K = (Bi1 ∩ K) ∪ ... ∪ (Bin ∩ K) = Bi1 ∪ ... ∪ Bin
y por tanto, K es compacto.
Teorema 7.2.3. Todo subconjunto cerrado C de un espacio topol´ gico compacto (X, τ ) es como
pacto.
Demostraci´ n. Sea A = {Ai }i∈I un recubrimiento de C por abiertos de (X, τ ). Entonces
o
c es un recubrimiento abierto de X, del cual se puedeextraer un subrecubrimiento finiA∪C
´
to; si este subrecubrimiento finito no contiene a C c , estar´ formado unicamente por elementos
a
c est´ en el recubrimiento finide A: {Ai1 , ..., Ain } y como C ⊂ X ya lo tendr´amos. Si C
ı
a
c } y como C ⊂ X = A ∪, ..., ∪A ∪ C c , tenemos que
to, ser´ de la forma {Ai1 , ..., Ain , C
a
i1
in
C ⊂ Ai1 ∪, ..., ∪Ain .
Teorema 7.2.4. Todo subconjuntocompacto de un espacio topol´ gico de Hausdorff, (X, τ ), es
o
cerrado en (X, τ ).

7.3. COMPACTOS EN R Y RN

61

Demostraci´ n. Probemos que K c es abierto, demostrando que es entorno de todos sus puntos.
o
Sea a ∈ K, si x ∈ K, x = a, como X es Hausdorff, existen abiertos disjuntos Ax y Bx con
/
a ∈ Ax y x ∈ Bx ; y esto se puede hacer para cada x = a, x ∈ K.
Pero {Bx }x∈K es un...