Topología

1. Considere la funcion f :
R2 → R definida por ´ √ f (x, y) = −xy ln(4x2 − y) (b) Represente gr´ ficamente el dominio de la funcion f y estudie la topolog´a a ´ ı del dominio. Verifique que el punto(0, 0) es un punto de acumulacion ´ del dominio de f . (c) Es posible determinar una recta que pase por el origen, que este contenida en el dominio, salvo el origen. Justifique ! 2. Problema(20puntos): Sean A y B vectores no nulos de R3 . Probar que ||A × B||2 + |A · B|2 = ||A||2 · ||B||2 . Pauta de Correccion ´ Problema 1 a.) f (0, 0) = ∄, f (−1, 1) = ln 3, f (−2, −1) = ∄ . b.) • Argumento deraiz cuadrada es no negativo, as´: ı −xy ≥ 0 ⇔ xy ≤ 0 Argumento de logaritmo es positivo, luego 4x2 − y > 0 Por tanto A = Dom(f ) = {(x, y) ∈ R2 : xy ≤ 0 ∧ y < 4x2 }. • ˚ A = {(x, y) ∈ R2 : xy < 0 ∧ y <4x2 } (a) Calcule, si es posible f (0, 0) , f (−1, 1) , f (−2, −1) .

F r(A) = {(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R}∪{(0, y) ∈ R2 : y ≤ 0}∪{(x, y) ∈ R2 : y = 4x2 , ∧x ≤ 0} 1

A = A′ = {(x, y) ∈ R2 : xy ≤ 0 ∧ y ≤4x2 }

• (0, 0) es un punto de acumulacion, pues ´ ∀n ∈ N : B((0, 0), 1/n) ∩ (A − {(0, 0)}) = ∅. • A no es abierto, ni cerrado. • A no es acotado. • A no es compacto. c.) Observe que la par´ bola y= 4x2 es tangente al eje X , es decir la recta a tangente a la par´ bola en el origen es el eje X . a Cualquier recta con pendiente positiva y que pasa por el origen entra al I y III cuadrante, portanto, no est´ en el dominio de f . a Cualquier recta con pendiente negativa y que pasa por el origen entra al II y IV cuadrante, pero como la par´ bola es tangente al eje X , la recta sale del adominio de f . Por tanto, la unica recta que pasa por el origen y que est´ contenida en el ´ a dominio de f (salvo el origen) es la recta y = 0 . Problema 2 Recordemos la interpretacion geom´ trica deproducto interior y producto vec´ e torial de vectores, es decir, − − → → − → − → • || A × B || = || A || · || B || sin θ − − → → − → − → • | A · B | = || A || · || B || cos θ

− → − → − → − → ||A ×...