Torema de stokes

Matemáticas

TEOREMA DE STOKES

Ejercicios Resueltos

ENUNCIADO DEL TEOREMA DE STOKES

Sea S una superficie orientada y suave a trozos, acotada por una curva C suave a trozos, cerrada ysimple, cuya orientación es positiva. Sea F un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas sobre una región abierta en R3 que contiene a S. Entonces:

[pic]

PROBLEMASRESUELTOS

1) Verificación del Teorema de Stokes. Verificar el teorema de Stokes para el campo vectorial F(x;y;z) = 3yi + 4zj - 6xk y la parte de la superficie paraboloidal z = 9 - x2 - y2 ubicada sobreel plano xy y orientada hacia arriba.

Solución

Cálculo como integral de línea: La curva C es en este caso una circunferencia de radio 3 centrada en el origen sobre el plano xy. Podemosparametrizarla como:

[pic]

Con esta parametrización tenemos:

F(() = 9sen( i + 0j ( 18cos( k

r´(() = (3sen( i + 3cos( j + 0k

r´(() = (27sen2(

[pic]

Cálculo como integral de superficie:Primero evaluamos el rotacional.

[pic]

Ahora parametrizamos la superficie del paraboloide. Para eso observamos que su proyección sobre el plano xy es un círculo de radio 3 con centro en el origen.Parece lógico usar una parametrización basada en coordenadas cilíndricas:

[pic]

El producto vectorial fundamental será:

[pic]

Vemos que la componente z de este vector es positiva. Por lotanto la parametrización describe a una superficie con orientación positiva.

Usando entonces esta parametrización, tenemos:

[pic]

Llegamos al mismo valor que cuando lo hicimos como integral delínea, verificando de esa manera el teorema de Stokes.(

2) Transformación de una integral de superficie en otra más sencilla usando el Teorema de Stokes. Utilice el teorema de Stokes para evaluar laintegral del rotacional del campo vectorial F(x; y; z) = xyzi + xyj + x2yzk sobre el dominio S consistente en la unión de la parte superior y de las cuatro caras laterales (pero no el fondo) del...