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Bisectriz, circunferencia inscrita y circunferencia exinscrita[editar]

Bisectrices ycircunferencia inscrita de un triángulo.
Las bisectrices de un triángulo son las bisectrices de sus ángulos. Existen bisectrices internas (las usuales) y externas a estos ángulos.
Las tres bisectrices internas de un triángulo son concurrentes en un punto O. La circunferencia inscrita del triángulo es laúnica circunferencia tangente a los tres lados del triángulo y es interior al triángulo. Tiene por punto central elincentro, que es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.13
Además, las bisectrices exteriores de dos ángulos concurren con la bisectriz interior del ángulo restante en puntos denominados exincentros, que son los centros de las circunferencias exinscritas del triángulo.Hay 3 exincentros, al igual que 3 circunferencias exinscritas. Las circunferencias exinscritas son tangentes a un lado y a la extensión de los otros dos.

Transformación de Ravi en un triángulo rectángulo.
La distancia desde un vértice el triángulo hasta los puntos de intersección de la circunferencia inscrita en el triángulo con los lados que se cruzan en dicho vértice por potencia de unpunto es la misma por lo que las longitudes de los lados de un triángulo son a=x+y, b=y+z, c=z+x, a esta forma de denotar a los lados de un triángulo se le conoce como Transformación de Ravi, en un triángulo rectángulo los lados son x+r, r+y, y+x con r el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo.
Alturas y ortocentro[editar]
Artículo principal: Ortocentro

Alturas y ortocentro de untriángulo.
Se llama altura de un triángulo al segmento de recta que une un vértice del triángulo con el lado opuesto -o su prolongación- formando un ángulo recto. El lado opuesto es la base del triángulo. Todos los triángulos tienen tres alturas.14 Estas 3 alturas se cortan en un punto único  (son concurrentes), llamado ortocentro del triángulo.15
Propiedades
Un triángulo es rectángulo si y sólo si suortocentro es el vértice recto del triángulo.
Un triángulo es obtusángulo si y sólo si su ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
Un triángulo es acutángulo si y sólo si su ortocentro está dentro del triángulo.


Alturas por longitud de sus lados[editar]
Para un triángulo ΔABC cualquiera, conociendo la longitud de sus lados (a, b, c), se pueden calcular las respectivas longitudes de lasalturas (ha, hb, hc) aplicando las siguientes fórmulas:



Donde ha es la altura correspondiente al lado a, hb es la altura correspondiente al lado b, hc es la altura correspondiente al lado c y el término  es:

Recta de Euler[editar]
Artículo principal: Recta de Euler

Recta de Euler de un triángulo.
Los tres puntos ,  y  están alineados en una línea recta llamada recta de Euler deltriángulo y verifica la relación de Euler:16 17

Los puntos medios de los tres lados, los tres pies de las alturas y los puntos medios de los segmentos ,  y  están en una misma circunferencia llamada circunferencia de Euler o circunferencia de los nueve puntos del triángulo.

Área de un triángulo[editar]
El área de un triángulo es igual al semiproducto de la base por la altura.

Esto escierto para cualquier triángulo plano.
Área con la fórmula de Herón[editar]
Artículo principal: Fórmula de Herón
Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo. Primero se calcula el semiperímetro s y luego se aplica la fórmula de Herón, (no se requiere conocer la altura).


Si se aplica la Transformación de Ravi a los lados deltriángulo tenemos que los lados son x+y, y+z, z+x y el área del triángulo es

Área con la longitud de sus lados[editar]
Conociendo la longitud de los tres lados a, b y c, se puede calcular el área para cualquier triángulo euclideo, (éstas fórmulas no requieren pre calcular el semiperímetro ni conocer la altura).


Área con la longitud de dos lados y el ángulo comprendido[editar]

Dos...