Toro No Conmutativo

CAPITULO 3

El Toro No Conmutativo
3.1 LAS ALGEBRAS DE COORDENADAS DE TOROS NO CONMUTATIVOS:
En la sección 1.7 se ha visto que cada función continua sobre el círculo S1 admite un desarrollo en una serie de Fourier, de tal manera que los monomios zk, para k ∈ Z forman una base ortonormal para el espacio de Hilbert L2 S1, que incluye a ∁(S1) comosubespacio denso. Aquí z =eꜟᶿ,es el generador del álgebra involutiva O(S1) de los polinomios de Fourier .Esta * - álgebra O(S1) es conmutativa, al ser generado por un solo elemento unitario y su compleción ∁(S1) es una ∁*-álgebra conmutativa.
El producto cartesiano de varios círculos es un toro .Se escribe
Tl≔S1xS1x…….xS1 (Con l factores)
(Cuando l=1,la nomenclatura T es igual a S1 ,aunque es usual emplear T cuando se considera el circulo como grupo multiplicativo; mientras S1 denota el círculo como variedad unidimensional .Para parametrizar el toro Tl como variedad diferencial , debemos emplear l variables angulares ϕ1,……,ϕl .Es comodo usar la notación Francesa (La solución Francesa a esta dificultad consiste en colocar el factor de2π en los exponentes, al escribir e2πiϕ en vez de eiθ;o bien, si se quiere al medir ángulos con el parámetro ϕ=θ/2π)en la cual 0≤ϕk<1 para k=1,……,l, en vez de recorrer un rango de 2π.De esta manera,el desarrollo de Fourier de una función f ∈ ∁(Tl) se escribe asi :

………. (3.1.A)
Fíjese que r ∈ Zl es unmultiíndice, es decir r=(r1,……,rl) es un juego de l números enteros.
Las funciones suaves

Generan el álgebra de polinomios de Fourier, O(Tl).Sus elementos son de la forma

……….. (3.1.B)

Donde la suma es finita (es decir, cr ≠0 sólo para una cantidad finita de los multiindices r).Engeneral, cada f ∈ ∁(Tl) puede representarse en esta forma. Al denotar por uk* el conjugado complejo de la función uk, es inmediato que los uk son elementos unitarios del álgebra O(Tl), esto es,
ukuk*=uk*uk=1,
Y además los uk conmutan entre si:
ukuj=ujuk, para todo j,k=1,………,l.
La compleción ∁(Tl) de O(Tl), es entonces una ∁*-álgebra(unital, conmutativa) generado por estos l elementos unitarios. Su espacio de caracteres es el toro Tl , de acuerdo con el teorema de Guelfand y Naimark; cada carácter es una evaluación f↦fϕ1,…….,ϕl.
Hay una variante no conmutativa de estas relaciones cuando l≥2 .El caso mas sencillo es cuando,l=2.Escribiremos u≔u1, v≔u2 , así que en ∁(T2) estos u,v son dos elementos unitariosque conmutan: uv=vu.
Definición 3.1:
Sea θ ∈ R un número real cualquiera .la notación Aθ denotará la∁*-álgebra universal generado por los elementos unitarios u , v que cumplen la relación de conmutación
vu=e2πiθuv ………………. (3.2)
La relación (3.2) es una de las formas básicas de la mecánica cuántica.
Lema 3.2:
Sobre el espacio deHilbert L2(R) de funciones f:R⟶C de cuadrado integrable, hay operadores unitarios Uθ y Vθ, dados por
………………(3.3.A)
Estos operadores cumplen la relación
…………….. (3.3.B)

Demostración:
El producto escalar en L2(R) esta dado por

La relaciones <Uθf/Uθh>=<f/h> y<Vθf/Vθh>=<f/h> son evidentes, la segunda de ellas por la invarianza por traslación expresada vulgarmente en la forma de cambio de variable d(t+θ) =dt. Como también se verifica <Uθf/Uθh>=<f/Uθ*Uθh> por la definición del operador adjunto Uθ* , se concluye que Uθ*Uθ=1 y de igual modo Vθ*Vθ=1. Además, los operadores son Uθ y Vθ obviamente biyectivos, así que Uθ-1=Uθ* y Vθ-1=Vθ*. Luego, los...