Torsion En Barras Prismaticas

Torsión

Resistencia de Materiales III-n

Torsión en barras prismáticas
Cuando se somete una barra recta de sección constante únicamente a un momento, según su eje longitudinal (eje z), esta se torsiona, desarrollándose tensiones rasantes y una sola solicitación resultante en cada sección transversal que será Mz, el momento torsor según el eje de la barra. Para definir la posición de lospuntos de la barra y sus desplazamientos tomaremos un sistema de coordenadas cartesianas con el eje z según la dirección longitudinal de la barra y con los ejes x e y que pertenecen a la sección normal al eje de la barra. De esta forma un punto P quedara definido por sus coordenadas originales (x,y,z) y su desplazamiento que llamaremos (u,v,w) queda definido por las funciones u = u(x,y,z), v =v(x,y,z) y w = w(x,y,z). Al lugar que ocupa el punto P después que la barra es sometida a torsión le llamaremos P´ . Las coordenadas de P´ serán (x+u,y+v,z+w). Si llamamos P´´ a la proyección del punto P´, según la dirección z, sobre la sección normal a la barra tendremos que sus coordenadas son (x+u,y+v,z).

Figura 1 Ejes coordenados Supondremos que el material que está sometido a torsión eshiperelástico, homogéneo e isótropo. HIPÓTESIS DE SAINT VENANT Para el análisis del problema de torsión vamos a admitir las hipótesis de Saint Venant. Luego de suponer estas hipótesis veremos que efectivamente el estado que resulta es un estado de torsión pura. Las hipótesis de Saint Venant pueden ser formuladas de la siguiente manera: 1) Si tomamos un punto genérico P de una sección determinada y sucorrespondientes P´ y P´´, los puntos P´´ resultarán de aplicar una rotación en el plano a los puntos P. Al centro de esa rotación le llamaremos centro de torsión y asumiremos, dado que las secciones son todas iguales, que es el mismo para todas las secciones. Instituto de Estructuras y Transporte - Facultad de Ingeniería 1

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2) El ángulo de la rotaciónanteriormente indicada es proporcional a la distancia entre la sección analizada y la sección que no tiene rotación o sea es lineal en z. Eligiendo un origen del eje z conveniente el ángulo de rotación será proporcional a z. A la rotación que se produce en una viga torsionada por unidad de longitud le llamaremos barrenado y la denominaremos θ. 3) El desplazamiento w de un punto genérico P dependede x e y pero es independiente de z. A este desplazamiento lo llamaremos alabeo. DESPLAZAMIENTOS

Figura 2 Desplazamientos proyectados sobre el plano normal Podemos asumir que el origen de nuestro sistema de coordenadas que hasta ahora no se encontraba condicionado es tal que el centro de torsión de todas las secciones pertenece al eje z. En función de lo anterior aceptando la hipótesis 1) ydenominando α al ángulo de rotación (que supondremos pequeño) se obtiene (teniendo en cuenta la semejanza de los triángulos 0AP y PBP´´) que: PP´´ v − u = = = tgα ≅ α OP x y resultando: u = - αy v = αx Y empleando 2), o sea que: α = θz se obtiene: u = -θzy v = θzx Por 3) se tiene que: w = w(x,y)

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DEFORMACIONES Conocidos los tres desplazamientos se puede calcular la matriz del tensor D referida a los ejes elegidos.

εx =

∂u =0 ∂x

εy =

∂v =0 ∂y

εz =

∂w =0 ∂z

ε xy =  +  = −θz + θz = 0 2  ∂y ∂x   
 = θx +  ε yz =  + 2  ∂z ∂y  2  ∂y      1  ∂v ∂w  1 ∂w 

1  ∂u

∂v 

ε xz = 

1  ∂u ∂w  1  ∂w  +  =  − θy +  2  ∂z ∂x  2 ∂x 

De lo anterior resulta que la matriz D tiene cuatro términos nulos al igual que su traza y tiene solo dos términos distintos de cero. TENSIONES Sabiendo que la ecuación constitutiva es de la forma

T = λ (trazaD ) I + 2GD
resultando que:

y como trazaD = 0

entonces

T = 2GD

σ x = σ y = σ z = τ xy = 0

τ xz = G − θy +

 

∂w   ∂x 

τ yz = Gθx +   ∂y   ...