TP complejos Hermosid








Trabajo práctico nº2
Números complejos y polinomios







Alumna: Hermosid Camila
Nº de legajo: 28969
Profesora: Saslavsky Gisella
Fecha de entrega: 02/12/13
Comisión: C




¿Que son y para que se utilizan?
En el conjunto de los números reales no es posible obtener raíces de índice par y radicando negativo. Así cuando se conocen únicamente los números reales no tiene interpretación,por ejemplo , pues no hay ningún numero tal que elevado al cuadrado dé por resultado un numero negativo -25. Para resolver estas operaciones se amplía el conjunto de números introduciendo a los números imaginarios.
Estos nuevos números no se definen arbitrariamente, sino de modo tal que las operaciones con ellos gocen de las mismas propiedades que las correspondientes operaciones con númerosreales.
Se llama número complejo a toda expresión de la forma z = a + b.i donde a y b son números reales; i es la unidad llamada imaginaria, definida por las ecuaciones: i = √-1 o i ² = -1; a es la parte real y b es la parte imaginaria del número complejo.

Aplicaciones
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas comovariable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corrienteeléctrica.
Resolución de ecuaciones algébricas
Cualquier polinomio real se puede factorizar en un producto de polinomios reales de grados uno y dos. Obviamente hay polinomios reales que no pueden descomponerse en un producto de polinomios de grado uno; por ejemplo p(x) = + 1. El siguiente resultado permite establecer que cualquier polinomio (real o complejo) se puede descomponer en un producto depolinomios complejos de grado uno (iguales o distintos).
El Teorema fundamental del Algebra.
Todo polinomio no constante con coeficientes complejos tiene algún cero complejo. Aunque era un resultado intuido con anterioridad, la primera demostración del Teorema Fundamental del Algebra se debe a C.F. Gauss. A lo largo de su vida dio muchas demostraciones de este resultado, aunque ninguna de ellas espuramente algebraica y la descripción de cualquiera de ellas se sale de los objetivos de la asignatura.
Sea p(z) un polinomio complejo de grado n ≥ 1,
p (z) =
p(z) tiene n raíces complejas (contando cada una según su multiplicidad). Es decir, existen n números complejos (iguales o distintos) , , . . . , ∈ tales que
p(z) = (z − )(z − )· · ·(z − ).
Se verifican las siguientesrelaciones entre las raíces y los coeficientes de p(z)
= ,
De acuerdo con el teorema anterior las ecuaciones polinómicas del tipo + 1 = 0, que justificaron la ampliación del conjunto de los números reales porque esas ecuaciones no tienen solución real, tienen solución en el conjunto de los números complejos. Concretamente esa ecuación tiene como soluciones
= i y = −i, de manera que + 1= (x − i) (x + i).

Electricidad
En ingeniería eléctrica permiten representar muy fácilmente los parámetros de magnitud y fase cuando se representan corrientes y tensiones alternas; el gran vinculador de ellas, la impedancia (cociente de la tensión y la corriente) se representa con un número complejo. Una parte real, una imaginaria, que representan resistencia (real) inductancia y capacitancia(imaginario).

Electrónica
En ingeniería electrónica el uso es el mismo que en eléctrica, pero además se aplica (para mencionar sólo un ejemplo) a ondas electromagnéticas, en donde se representa la relación entre campos eléctricos y magnéticos.

Aerodinámica
En el diseño de un ala de avión es vital tener una sección cuya forma permita que el aire fluya sin turbulencias. Esto solamente se logra si...