Tp Numérico

Análisis Numérico
Trabajo Práctico de Maquina (1 y 2)


El esquema mostrado en la figura muestra un sistema de 4 masas (m1, m2, m3 y m4) conectadas entre ellas con resortes y amortiguadores (Ki y Ci con i = 1..6).
Los datos de los componentes son:
Lx = Ly = 2m
m1 = m2 = m3 = m4 = 1 kg
K1 = K2 = K3 = K4 = K5 = K6 =1000 kgf / m
V = 1m/s
Se pide:
1. 1. Plantear el sistema deecuaciones diferenciales en “x” e “y” para cada una de las 4 masas. Es decir que se llegara a un sistema de 5 ecuaciones diferenciales. (2 por cada masa y considerando las restricciones del sistema). Llegar a una expresión matricial.
2. 2. Discretizar utilizando el método de Euler. (ayuda: se deberá pasar cada ecuación diferencial de 2do orden a 2 ecs de 1er orden, utilizar por ejemplo el cambio devariable X=x’ , XX=x’’, Y=y’ , YY=y’’ )
3. 3. Para los valores dados y considerando nulos los valores de Ci (i=1..6) encontrar las posiciones de las masas (valores de “x” e “y”) para los valores de t = 0.1T, 0.2T, 0.3T, 0.4T y 0.5T, siendo T el periodo de oscilación en la direccion x correspondiente a la masa 1. (Construir programa Matlab)
4. 4. Cuales deberían ser los valores de lasamortiguaciones Ci (i = 1..6) para que la amplitud de la oscilación horizontal de la masa 1 alcance un valor del 50% para el tiempo correspondiente 4T.

[pic]






1) Usando las siguientes referencias:














1Con [pic]las cuales no varían en el tiempo.


[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]


[pic] [pic] [pic]
[pic] [pic] [pic]


[pic] y [pic].




Ecuaciones diferenciales:
Masa 1:


[pic]
[pic]


Masa 2:


[pic]
[pic]


Masa 4:


[pic]


En forma matricial:


[pic][pic]
[pic]


2) Utilizamos el siguiente cambio de variables:

Caso general:

[pic]

[pic]

Donde el subíndice i indica el número de masa, i=1..4.

Discretizando usando el método de Euler se llega a:

[pic]

Siendo el supra índice n el número de iteración y h el paso.




Para cada masa:

Masa 1

[pic]

[pic]

[pic][pic]




Masa 2

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]




Masa 3

Considerando la restricción de movimiento nulo para la masa 3.

[pic]

[pic]




[pic]




Masa 4

Considerando la restricción de movimiento nulo en el eje y para la masa 4.




[pic]

[pic]

[pic]




[pic]




3) Aclaración:el intervalo de tiempo para el caso particular de este problema es T/2 y la cantidad de puntos es p=5.

Cálculo de T:

[pic]

( T=0,063469756

( T/2=0,031734878




Código en matlab

%Método de Euler, para un intervalo.

Lim_inf=input ('Ingrese el límite inferior del intervalo: ');

Lim_sup=input ('Ingrese el límite superior del intervalo: ');p=input ('Ingrese la cantidad de puntos: ');

h= (Lim_sup-Lim_inf)/p;

c=input('Ingrese las constantes de amortiguación en forma de vector, desde 1 a 6: ');

%En este problema se ingresa el valor 0 para cada una de ellas.

%Datos iniciales:

k=9800;

m=1;

Z= [2 0 0 2; 2 2 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 0];

e1= ([Z(1,1)-Z(1,2); Z(2,1)-Z(2,2)])/norm([Z(1,1)-Z(1,2);Z(2,1)-Z(2,2)]);

e2= ([Z(1,2)-Z(1,3); Z(2,2)-Z(2,3)])/norm([Z(1,2)-Z(1,3); Z(2,2)-Z(2,3)]);

e3= ([Z(1,4)-Z(1,3); Z(2,4)-Z(2,3)])/norm([Z(1,4)-Z(1,3); Z(2,4)-Z(2,3)]);

e4= ([Z(1,1)-Z(1,4); Z(2,1)-Z(2,4)])/norm([Z(1,1)-Z(1,4); Z(2,1)-Z(2,4)]);

e5= ([Z(1,2)-Z(1,4); Z(2,2)-Z(2,4)])/norm([Z(1,2)-Z(1,4); Z(2,2)-Z(2,4)]);

e6= ([Z(1,1)-Z(1,3); Z(2,1)-Z(2,3)])/norm([Z(1,1)-Z(1,3);...