Trabajaos Y Tareas

Integracion como suma

1. Teorema fundamental de cálculo integral 3
2. Regla para aplicar el teorema fundamental 4
3. Áreas de superficies limitadas por curvas planas en coordenadas rectangulares 5
4. Áreas de curvas planas en coordenadas polares 6
5 Volúmenes de solidos de revolución 7
6. Volúmenes de solidos de revolución huecos y longitud de un arco de una curva. 8
Referencias9

1. Teorema fundamental de cálculo integral

El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisismatemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integraleseran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función"
Supóngamos ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x+h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x+h y luego restando el área entre 0 y x. En resumen, el área de esta especie de "loncha" seríaA(x+h) − A(x).
Se puede decir que A(x+h) − A(x) es aproximadamente igual a f(x) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ(x)·h ≈ A(x+h) − A(x), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite.

Dada una función f integrable sobre el intervalo,
definimos F sobre por. Si f es continua en,
entonces F esderivable en y F'(c) = f(c).

2. Regla para aplicar el teorema fundamental

El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow, en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de lasprimitivas de la función.
Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces

Sea
Tenemos por el primer teorema fundamental del cálculo que:
Por lo tanto,
Observamos que
y de eso se sigue que
por lo tanto,
Y en particular si tenemos que

Observación: el teorema fundamental del cálculo no requiere quela función sea positiva. Sirve para evaluar las integrales definidas y muestra la estrecha relación existente entre la derivada y la integral.
Podemos hallar el valor de cada una de las cinco integrales definidas cambiando por los límites superiores pedido, pero es mucho más sencillo fijar x (como una constante temporalmente) y aplicar el teorema fundamental del cálculo con lo que obtenemos.

3.Áreas de superficies limitadas por curvas planas en coordenadas rectangulares
Sean f y g dos funciones continuas en el intervalo [a,b]tales que f(x) ≥ g(x)
para todo x en [a,b].

Nos proponemos encontrar el valor del área A de la región R comprendida por las
funciones
f (x),
g(x)y las rectas x=a y x=b.
Realicemos una partición P de [a,b] así: 0 1 . n a=x <x <…<x =b El intervaloi-ésimo será 1 [x i ₋₁ , x i], el cual tiene como longitud Δ x i =x i − x i₋₁.
Tomemos un punto i t en 1 [ x i₋₁, x i] y un elemento rectangular que tenga como altura
h=f(t i)- (t i) y ancho i Δx .
Su área será entonces:
A[f ( t i)-g (t i)] iΔA = f t −g t Δx .
Por tanto, una buena aproximación para el área A de la región R será:
1 n
∑[ f(t i)- g(t i ) ]∆x i.
i
Si P tiende a cero, la...