Trabajo 1 Derivadas 2

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
CALCULO MULTIVARIABLE
PRIMER SEMESTRE DE 2015
PROFESORA: LUZ ANGELA FLOREZ



DERIVADAS PARCIALES.
La derivada de una función de una variable y = f(x) está dada por el límite de un cociente de diferencia

Exactamente de la misma manera, podemos definir la derivada de primer orden de una función de dos variables z= f(x, y) con respecto a cada variable.
DERIVADAS PARCIALES DE PRIMER ORDEN
Si z = f(x, y) es una función de dos variables, entonces la derivada parcial con respecto a x en un punto (x, y) es

y la derivada parcial con respecto a y es

Para calcular ∂z/∂x, emplee las leyes de la diferenciación ordinariamientras trata a y como una constante.
Para calcular ∂z/∂y, emplee las leyes de la diferenciación ordinaria mientras trata a x como una constante.
SÍMBOLOS ALTERNOS
Las derivadas parciales ∂z/∂x y ∂z/∂x a menudo se representan por medio de símbolos alternos. Si z = f(x, y), entonces

DERIVADA COMO RAZON DE CAMBIO.
Si f es una función de dos variables la derivada parcial con respecto a x en el puntoda la razón de cambio instantánea en el punto P de f (x,y) por unidad de cambio en x, x varia y y se mantiene fija

Ejemplo:
Una lamina de metal plana se encuentra en un plano y la temperatura en esta dada por donde se mide en grados y x,y en cm. Calcule la tasa de cambio o variación de con respecto a la distancia en el punto (1,2) en la dirección a) del eje X. b) del eje Y.INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Como advertimos en la FIGURA, cuando y es constante, digamos y = b, la traza de la superficie z = f(x, y) en el plano y = b es la curva azul C. Si definimos lapendiente de una secante a través de los puntos P(a, b, f(a, b)) y R(a + h, b, f(a + h, b)) como

Las derivadas parciales ∂z/∂x y ∂z/∂y son pendientes de la recta tangente a la curva C de intersección de la superficie y elplano paralelo a los ejes x o y.


En otras palabras, es posible interpretar ∂z/∂x como la pendiente de la recta tangente en el punto P (para la cual el límite existe) sobre la curva C de intersección de la superficie z = f(x, y) y el plano y = b. A su vez, una inspección de la figura revela que ∂z/∂y es la pendiente de la recta tangente en el punto P sobre la curva C de intersección entre lasuperficie z = f(x, y) y el plano x = a.
EJERICICIOS
1. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie con el plano en el punto (2,1,5). Hacer un dibujo Interpretar esta pendiente como derivada parcial.
2. Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección de la superficie con el plano en el punto Interpretar esta pendiente comoderivada parcial.


3. El elipsoide interseca al plano en una elipse. Encuentre ecuaciones paramétricas para la recta tangente a esta elipse en el punto
FUNCIONES DE TRES O MÁS VARIABLES
Las tasas de cambio de una función de tres variables w = f(x, y, z) en las direcciones x, y y z son las derivadas parciales ∂w/∂x, ∂w/∂y y ∂w/∂z respectivamente. La derivada parcial defrespecto a z se define comosiempre que el límite exista.
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Y MIXTAS,

DERIVADAS PARCIALES DE TERCER ORDEN:

DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN MIXTAS:


LINEALIZACIÓN Y DIFERENCIALES
Una linealización de una función de una sola variable y = f(x) en un número está dada por L(x) = f() + f′()(x − ). Esta ecuación puede utilizarse para aproximar losvalores de la función f(x) en la vecindad de x0, esto es, L(x) ≈ f(x) para valores de x cercanos a x0. De manera similar puede definirse una linealización L(x, y) de una función de dos variables en un punto (x0, y0). En el caso de una función de una sola variable se asumió que y = f(x) era diferenciable en x0, esto es,


Recuerde también que si f es diferenciable en , también es continua...