Trabajo 1 Estadistica - Probabilidades

TRABAJO ENCARGADO Nº 01 – ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADES (ES - 241)
PARTE A: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

I. DEMUÉSTRESE QUE SE CUMPLEN ESTAS PROPIEDADES EN UN ESPACIO DE PROBABILIDAD (Ω, A, P (.)):
*Nota: Si se tiene (A1A2…An) se sobreentiende la intersección (A1∩A2∩…∩An).

1.1 TEOREMA: Para dos eventos cualesquiera A1 y A2 se cumple la Probabilidad Condicional:
P(A1/A2) = P(A1A2) / P(A2);tal que: P(A2)>0.
Para justificar esta definición usemos el concepto de frecuencia relativa. Supongamos que se ha repetido un experimento (ε) n veces. Sean nA, nB y nA∩B el número respectivo de veces que los sucesos A, B, y A∩B han ocurrido en las n repeticiones. nA∩B/ nA representa la frecuencia relativa de B entre los resultados en los que A ocurrió. Esto es, nA∩B/ nA es la frecuenciarelativa condicional de B, dado que A ocurrió.

Podemos escribir nA∩B/ nA como sigue:

nA∩BnA= nA∩BnnAn=fA∩BfA

En donde: fA∩B y fA son las frecuencias relativas de los sucesos A∩B y A, respectivamente. Como ya lo hemos indicado, si n, el número de repeticiones es grande. fA∩B estará próximo a P(A∩B) y fA estará próxima a P(A). Por lo tanto, la relación anterior sugiere que nA∩B/nA estarápróxima a P(B/A). Así hacemos la siguiente definición formal:

P(BA)= PA∩BP(A), dado que PA>0

Si asumimos B=A1 y A=A2

P(A1A2)= PA1∩A2P(A2), dado que PA2>0

1.2 TEOREMA: Para dos eventos cualesquiera A y B se cumple el Teorema de la Adición: P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A.B).
Demostración:
*AUB = A U (B-A); entonces:
P(AUB) = P [A U (B-A)]
P(AUB) = P(A) + P (B-A) … (1)
* B = (A∩B) U(B-A); entonces
P(B) = P[(A∩B) U (B-A)]
P(B) = P(A∩B) U P(B-A)
P(B-A) = P(B) - P(A∩B) … (2)
*Sustituimos (2) en (1) y se tiene:
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B).
1.3 COROLARIO: Para tres eventos cualesquiera A1 A2 y A3 se cumple el Teorema de la Adición:
P(A1U A2U A3) = P(A1) + P(A2) + P(A3) - P(A1A2) - P(A1A3) - P(A2A3) + P(A1A2A3).
Demostración:
P[(A1UA2)UA3] = P(A1UA2) + P(A3) –P[(A1UA2)∩A3]
Si: P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) – P(A1∩A2)
P(A1UA2) = P(A1) + P(A2) – P(A1)P(A2)
P(A1U A2U A3) = P(A1) + P(A2) – P(A1)P(A2) + P(A3) – P[(A1UA2)∩A3]
P(A1U A2U A3) = P(A1) + P(A2) – P(A1∩A2) + P(A3) – P[(A1∩A3)U(A2∩A3)]
P(A1U A2U A3) = P(A1) + P(A2) – P(A1∩A2) + P(A3) – P[(A1∩A3)+(A2∩A3)-(A1∩A2∩A3)]
P(A1U A2U A3) = P(A1) + P(A2) – P(A1∩A2) + P(A3) – P(A1∩A3) + P(A2∩A3) - P(A1∩A2∩A3)1.4 TEOREMA: Teorema del Complemento: Si A es un evento, entonces:
P(AC) = 1 – P(A), y también P(A) = 1 – P(AC).
Demostración:
AU AC = Ω
P(AU AC)= P(Ω) = P(A) + P (AC) = 1
Despejamos
P(AC) = 1 – P(A)
Análogamente de P(A) + P (AC) = 1 obtenemos P(A) = 1 – P(AC)
1.5 TEOREMA: Teorema de la Multiplicación de eventos no independientes:
P(A1A2) = P(A1) x P(A2/A1); tal que: P(A1) > 0.Demostración:
De la definición de Probabilidad Condicional tenemos:
P(A1A2)= PA1∩A2P(A2)
P(A1A2)= PA1A2P(A2)
Si multiplicamos ambos miembros por P(A2) obtenemos el resultado buscado:
P(A1A2) ×PA2= PA1A2PA2 × P(A2)
P(A1A2) ×PA2= PA1A2

PA1A2=PA2 ×P(A1A2)

1.6 TEOREMA: Teorema de la Multiplicación de eventos independientes:
P(A1A2) = P(A1) x P(A2); tal que: P(A1) > 0.
Demostración:
Dela definición de probabilidad condicional se tiene:
P(A1/A2) = P(A1A2) / P(A2) y P(A2/A1) = P(A1A2) / P(A1)
Despejando: P(A1A2) = P(A1/A2) P(A2) = P(A2/A1) P(A1) … (1)
Como A2 es independiente de A1, se tiene P(A2/A1) = P(A2) y sustituyendo en (1) nos conduce a la expresión:
P(A1A2) = P(A1/A2) P(A2) = P(A2)(A1)
Por lo tanto P(A1/A2) P(A2) = P(A2) x P(A1), de donde P(A1/A2) = P(A1),lo que nos indica que A es independiente de B.

1.7 Partición del Espacio Muestral y Teorema de la Probabilidad Total:
P(B) = ∑P(Ai).P(B/Ai).
Demostración:
Por Hipótesis tenemos una partición (A1, A2,…, An) del espacio muestral Ω. Por lo tanto el suceso B se puede escribir como: B = (B∩A1) U (B∩A2) U… U (B∩An).
Los conjuntos B∩Ai son dos a dos disjuntos, ya que caso contrario los Ai...